[論文レビュー] Some identities involving degenerate r-Stirling numbers

Taekyun Kim, Dae San Kim|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2022

Advanced Mathematical Identities被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、逆関係を用いて、第一種および第二種の退化r-Stirling数に関する新しい恒等式を導出する。生成関数および直交性関係を活用することで、これらの退化特殊数と、rにおける完全退化Bernoulli、2変数Fubini、Euler、および多項式Bernoulli多項式の評価との明示的関係を確立する。

ABSTRACT

Recently, authors studied the unsigned degenerate r-Stirling number of the first kind and the degenerate r-Stirling number of the second kind, respectively of which are the degenerate versions of the unsigned r-Stirling numbers of the first kind and those of the r-Stirling numbers of the second kind. The aim of this paper is to derive some identities involving such special numbers from the inverse relations for them.

研究の動機と目的

• 第一種および第二種の退化r-Stirling数を含む新しい恒等式を導出すること。
• 退化r-Stirling数とrにおける特殊多項式の評価との関係を調査すること。
• 既知の退化Stirling数の逆関係を退化r-Stirling数のケースに拡張すること。
• 符号なし第一種および第二種の退化r-Stirling数の間の直交性および逆関係を確立すること。
• これらの関係を用いて、完全退化Bernoulli、Fubini、Euler、および多項式Bernoulli多項式に関する恒等式を生成すること。

提案手法

• 退化下降階乗および退化指数型母関数を用いて、退化r-Stirling数を定義する。
• 符号なし第一種の退化r-Stirling数と第二種の退化r-Stirling数の間の直交性関係を確立する。
• 生成関数技法を適用して、直交性から逆関係を導出する。
• これらの逆関係を用いて、完全退化Bernoulli、2変数Fubini、Euler、および多項式Bernoulli多項式のrにおける評価を実行する。
• 退化指数関数の合成的逆関数、すなわち退化対数関数を用いて、生成関数列を操作する。
• 退化多対数関数および退化対数級数を含む生成関数の恒等式を用いて、係数ごとの恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一種および第二種の退化r-Stirling数の間の逆関係を体系的にどのように導出できるか？
• RQ2 これらの逆関係をrにおける特殊多項式の評価に適用した際に、どのような恒等式が得られるか？
• RQ3 退化r-Stirling数は、完全退化Bernoulli、Fubini、Euler、および多項式Bernoulli多項式とどのように関係するか？
• RQ4 退化生成関数および退化対数関数は、これらの特殊数系を統一するために果たす役割は何か？
• RQ5 退化r-Stirling数の直交性を用いて、多項式評価の閉形式恒等式を導出できるか？

主な発見

• 生成関数の直交性を用いて、${n+r \brack k+r}_{r, heta}$ と ${n+r \brace k+r}_{r, heta}$ 間の逆関係が確立された。
• 恒等式 $\frac{n!}{2^n} = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k {n+r \brack k+r}_{r, heta} \mathcal{E}_{k, heta}(r)$ が導出され、退化Euler多項式と退化r-Stirling数が結びつけられた。
• 退化多項式Bernoulli多項式に関して、恒等式 $\frac{(-\lambda)^n (1)_{n+1,1/\lambda}}{(n+1)^p} = \sum_{k=0}^{n} {n+r \brack k+r}_{r, heta} \beta_{k, heta}^{(p)}(-r)$ が証明された。
• 退化調和数 $H_{n, heta}^{(r)}$ が $-\frac{1}{(1-t)^r} \log_{\theta}(1-t) = \sum_{n=1}^\infty H_{n, heta}^{(r)} t^n$ を満たすことが示された。
• 退化第二種Bernoulli多項式と調和数の間の恒等式が導出された：$\sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!} b_{k, heta}(r) H_{n-k, heta}^{(r)} = \delta_{n,1}$。
• 2変数Fubini多項式の $x = -\frac{1}{2}$ における評価から、$\mathcal{E}_{n, heta}(r) = \sum_{k=0}^{n} \left(-\frac{1}{2}\right)^k k! {n+r \brace k+r}_{r, heta}$ が得られた。