[論文レビュー] Some identities of polynomials arising from umbral calculus

Dae San Kim, Taekyun Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ベルヌーイ、オイラー、一般化されたアッペル型多項式などの特別な多項式について、ウムブラ記法を用いた手法により新たな恒等式を導出する。関連する数列と母関数を活用することで、スターリング数、高階ベルヌーイ数、二項係数を含む明示的公式を確立し、形式的冪級数上の作用的記法により多項式数列の閉形式表現を導出する。

ABSTRACT

In this paper, we study some properties of associated sequaences in umbral calculus. From these properties, we derive new and interesting identities of several kinds of polynomials.

研究の動機と目的

• ウムブラ記法における関連数列の構造的性質を調査し、一般化されたベルヌーイおよびオイラー多項式の新たな恒等式を導出すること。
• 線形汎関数と母関数を通じて、多項式数列と形式的冪級数の間の関係を確立すること。
• ウムブラ代数における作用的手法を用いて、一般化されたベルヌーイおよびオイラー多項式の明示的公式を導出すること。
• スターリング数および二項係数を用いて多項式を表現することにより、既知の恒等式を統一的かつ拡張すること。
• ウムブラ作用を用いて、$ A_n(x;a) $、$ S_n(x) $、$ E_n^{(n)}(x) $ などの数列の閉形式表現を提供すること。

提案手法

• 形式的冪級数を多項式上の線形汎関数として扱うウムブラ代数の枠組みを用いる。
• 関連数列 $ p_n(x) \sim (1,f(t)) $ と $ q_n(x) \sim (1,g(t)) $ を結びつけるための作用的恒等式 $ x \to x \frac{f(t)}{g(t)} x^{-1} $ を適用する。
• ベルヌーイ多項式 $ \left(\frac{t}{e^t-1}\right)^r $、オイラー多項式 $ \left(\frac{2}{e^t+1}\right)^r $、下降階乗多項式の母関数を用いる。
• スターリング数の第二種 $ S_2(l+n,n) $ を含む $ t^l $ の級数として $ \left(\frac{e^t-1}{t}\right)^n $ を表現する。
• 多項式を単項式基底に展開するための関係 $ (x)_{n-1} = \sum_{l=0}^{n-1} S_1(n-1,l) x^l $ を用いる。
• 多項式数列を操作的に扱うための作用的記法の恒等式 $ t^k p(x) = \frac{d^k}{dx^k} p(x) $ および $ e^{yt} p(x) = p(x+y) $ を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ウムブラ記法における関連数列をどのように用いて、一般化されたベルヌーイおよびオイラー多項式の新たな恒等式を導出できるか？
• RQ2 数列 $ x(x-an)^{n-1} $ や $ E_n^{(n)}(x) $ にウムブラ作用を適用した場合、どのような閉形式表現が得られるか？
• RQ3 第一種および第二種スターリング数は、ウムブラ作用の下での多項式数列の展開にどのように現れるか？
• RQ4 $ S_n(x) \sim (1, t(1+t)^a) $ と単項式 $ x^n $ の間の作用的関係は何か？ そして、それを代数的にどのように表現できるか？
• RQ5 高階ベルヌーイ数 $ B_k^{(k-n+1)}(an+1) $ は、ウムブラ枠組みにおける母関数を通じて多項式数列と結びつけることができるか？

主な発見

• 本稿では、スターリング数と二項係数を含む下降階乗の和として、$ A_n(x;a) = x(x - an)^{n-1} $ の閉形式表現を導出する。
• 数列 $ S_n(x) \sim (1, t(1+t)^a) $ が $ S_n(x) = \sum_{k=1}^n \binom{-an}{n-k} (n-1)_{n-k} x^k $ を満たすことを証明し、一般化された二項係数と関連付ける。
• オイラー多項式と一般化されたアッペル多項式を結ぶ恒等式 $ xE_{n-1}^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n-1}{k} E_k^{(n)}(an) A_{n-k}(x - ak; a) $ を確立する。
• 新たな恒等式として、$ S_2(n,m) = \sum_{l=m}^n \binom{-an}{n-l} (n-1)_{n-l} \binom{l-1}{m-1} B_{l-m}^{(l-m-n+1)}(an+1) $ を発見し、スターリング数と高階ベルヌーイ数を関連付ける。
• 母関数 $ \left(\frac{t(1+t)^a}{\log(1+t)}\right)^n = \sum_{k=0}^\infty B_k^{(k-n+1)}(an+1) \frac{t^k}{k!} $ を導出し、多項式数列の表現に用いる。
• $ b=1 $ とすると、$ A_n(x;a) $ の恒等式は $ (-an)^{k-j} $、$ S_2(j+n,n) $、$ S_1(n-1,l) $、および二項係数を含む和に簡略化される。