[論文レビュー] Some improvements of numerical radius inequalities of operators and operator matrices

Pintu Bhunia, Kallol Paul|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2019

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 21被引用数 54

ひとこと要約

本稿では、[0, ∞) 上の非負連続関数を用いて、ヒルバート空間作用素および n×n 行列作用素の積の数値半径に関する新しい上界と下界を提示する。パワー・ヤングおよびマッカーシーの不等式を導入することで、既存の不等式を一般化・改善し、対角作用素行列に対する B-数値半径へと結果を拡張し、先行研究よりも tighter な境界を与える。主な貢献は、パラメータ化された上界 w_p(XY) を得ることであり、これはアラマリ（2018）の結果を一般化し、以前の推定を精緻化するものである。

ABSTRACT

We obtain upper bounds for the numerical radius of a product of Hilbert space operators which improve on the existing upper bounds. We generalize the numerical radius inequalities of $n imes n$ operator matrices by using non-negative continuous functions on $[0,\infty)$. We also obtain some upper and lower bounds for the $B$-numerical radius of operator matrices, where $B$ is the diagonal operator matrix whose each diagonal entry is a positive operator $A.$ We show that these bounds generalize and improve on the existing bounds.

研究の動機と目的

• ヒルバート空間上の有界線形作用素の積の数値半径に関する既存の上界を改善すること。
• 非負連続関数を用いて [0, ∞) 上で n×n 行列作用素行列の数値半径不等式を一般化すること。
• 正の作用素からなる対角行列 B に対して、n×n 行列作用素行列の B-数値半径に関する新しい上界と下界を確立すること。
• アラマリ（2018）およびアブ・オマルとキッタンヒの最近の研究を是正・拡張すること。
• A-随伴、A-ノルム、作用素のスペクトル性質を用いて、よりタイトで一般的な推定を提供すること。

提案手法

• |X|Y = Y*|X| の仮定のもと、パワー・ヤング不等式を用いて w_p(XY) の新しい上界を導出する。
• マッカーシーの不等式を適用し、作用素関数の L^p ノルムとその数値半径との関係を関連付ける。
• A-数値半径 w_A(T) および A-自己共役作用素を用いて、半ヒルバート空間への境界の一般化を行う。
• 非負連続関数 f, g を用い、f(t)g(t) = t となる変換を導入し、推定を精緻化する。
• 2×2 行列作用素行列の境界を導出するために、補題 4.14（非負行列の数値半径に関するもの）を適用する。
• A-内積の極化恒等式を用いて、w_A(Y♯A X) の境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つのヒルバート空間作用素の積の数値半径について、これまでに知られているものよりもタイトな上界を導出可能か？
• RQ2 [0, ∞) 上の連続関数を用いて、n×n 行列作用素行列の数値半径不等式をどのように一般化できるか？
• RQ3 B が正の作用素からなる対角行列であるとき、n×n 行列作用素行列の B-数値半径に関する改善された上界と下界は何か？
• RQ4 新しい境界は、アラマリ（2018）およびアブ・オマルとキッタンヒの結果と比較してどのように異なるか？
• RQ5 A-数値半径フレームワークを用いて、作用素積および行列のより鋭い不等式を導出可能か？

主な発見

• 本稿では、f(t)g(t) = t を満たす関数とパワー・ヤング不等式を用いたパラメータ化された不等式を導入することで、w_p(XY) の新しい上界を確立し、既存の推定を改善した。
• α = β = 2 かつ p = 1 の場合、境界は w(XY) ≤ r(Y) w⎛⎜⎝O f²(|X|) g²(|X*|) O⎞⎟⎠ に簡略化され、以前の結果を一般化する。
• n×n 行列作用素行列 T の B-数値半径は、w_B(T) ≤ w(T') を満たす。ここで T' は対角成分に w_A(T_ii)、非対角成分に ||T_ij||_A を持つ実行列である。
• よりタイトな上界として、w_B(T) ≤ w(T'') が得られ、非対角成分が w_C(O T_ij T_ji O) に置き換えられ、以前の境界を改善する。
• w_B(T) ≥ 1/2 √(||T₁₂T♯A₁₂ + T♯A₂₁T₂₁||_A + 2m_A(T₂₁T₁₂)) という下界が確立され、非自明な逆推定が得られる。
• 不等式 w_A(Y♯A X) ≤ 1/4 ||XX♯A + YY♯A||_A + 1/2 w_A(XY♯A) が証明され、A = I のとき [21, Th. 2.10] の結果を一般化・鋭くしたものである。