[論文レビュー] Some inequalities on $h$-convex functions

Malek Abbasi, Ali Morassaei+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2020

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、線型空間内の凸集合上での $h$-凸関数を導入し、特徴づけ、Jensen-Mercerの不等式を $h$-凸関数へ拡張し、ヒルベルト空間におけるその作用素版を確立する。さらに、$h$-凸関数に対するJensenの不等式の補完的不等式を導出し、$h$ および $f$ に関する特定の関数的条件の下で、作用素単調性と凸性を用いて境界を付与する。主な貢献は、明示的な作用素理論的表現を伴う、古典的不等式を $h$-凸フレームワークに一般化することにある。

ABSTRACT

In this paper, we state some characterizations of $h$-convex function is defined on a convex set in a linear space. By doing so, we extend the Jensen-Mercer inequality for $h$-convex function. We will also define $h$-convex function for operators on a Hilbert space and present the operator version of the Jensen-Mercer inequality. Lastly, we propound the complementary inequality of Jensen's inequality for $h$-convex functions.

研究の動機と目的

• 線型空間内の凸集合上での $h$-凸関数を関数的不等式を用いて特徴づける。
• 凸関数および $s$-凸関数に対する古典的結果を一般化する形で、Jensen-Mercerの不等式を $h$-凸関数へ拡張する。
• ヒルベルト空間上での有界線形作用素の文脈において、$h$-凸関数を定義し、それらを分析する。
• $h$-凸関数に対するJensenの不等式の補完的不等式を確立し、作用素理論的境界を提供する。

提案手法

• 不等式 $f(tx + (1-t)y) \leq h(t)f(x) + h(1-t)f(y)$ を用いて $h$-凸関数を定義する（$t \in [0,1]$）。
• 関数 $f_{x,y}(t) = f(tx + (1-t)y)$ を用いて、グローバルな $h$-凸性を $[0,1]$ 上の $h$-凸性に還元する。
• 作用素凸関数および正規化された正の線形写像 $\Phi$ に対するDavis-Choi-Jensenの不等式を適用する。
• $h$-凸性および作用素単調性を用いて、Jensen-Mercerの不等式の作用素版を導出する。
• $\mu_h, \nu_h, \mu_f, \nu_f$ およびスペクトル境界 $m, M$ を含む最大関数表現を用いて境界を確立する。
• $\alpha g$ に対する凸性および微分可能性の仮定を用いて、補完的不等式のタイトな上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線型空間内の凸集合上に定義された $h$-凸関数に対して、Jensen-Mercerの不等式をどのように一般化できるか？
• RQ2 $f$ がヒルベルト空間上での $h$-凸関数であるとき、Jensen-Mercerの不等式の作用素版は何か？
• RQ3 $h$-凸性および凸性を用いて、$h$-凸関数に対するJensenの不等式の補完的不等式をどのように導出できるか？
• RQ4 $h$-凸関数および正規化された正の線形写像を含む作用素不等式に対して、最もタイトな境界は何か？
• RQ5 $h$ および $f$ にどのような条件下で、補完的不等式が剰余項の明示的表現をもたらすか？

主な発見

• Jensen-Mercerの不等式が $h$-凸関数へ拡張され、任意の $t \in [0,1]$ に対して $f(tx + (1-t)y) \leq h(t)f(x) + h(1-t)f(y)$ が成り立つ。
• ヒルベルト空間上での $h$-凸関数に対して、正規化された正の線形写像および作用素凸性を用いて、Jensen-Mercerの不等式の作用素版が確立された。
• Jensenの不等式に対する補完的不等式が導出され、$\sum_{j=1}^{n} h(t_j)\Phi_j(f(A_j)) \leq \alpha g(\sum t_j \Phi_j(A_j)) + \beta I_{\mathcal{K}}$ が成り立ち、$\beta$ は $\mu_h, \mu_f, \nu_h, \nu_f$ およびスペクトル境界に依存する明示的表現を持つ。
• 厳密に凸で微分可能な $\alpha g$ の場合、剰余項 $\beta$ は $\mu_h f(s) - \alpha g(s) + |\mu_h \mu_f - \alpha g'(s)|(M - m) + \nu_h(f(m) + f(M))$ で上界が与えられ、$s \in \{m, M\}$ に対して成り立つ。
• $\alpha g$ が凹関数の場合、最大剰余 $\beta$ は端点 $m$ または $M$ で達成され、$\beta = \max_{s \in \{m,M\}} \{ \mu_h f(s) + \nu_h(f(m) + f(M)) - \alpha g(s) \}$ が得られる。
• 2回微分可能で厳密に $h$-凸な $f$ の場合、剰余 $\beta$ は明示的に $\mu_h \mu_f t_0 + \mu_h \nu_f + \nu_h(f(m) + f(M)) - \alpha f(t_0)$ として計算され、$t_0$ は逆微分条件によって定まる。