[論文レビュー] Some inequalities on the norms of special matrices with generalized Tribonacci and generalized Pell Padovan sequences

Zahid Raza, Muhammad Riaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2014

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、一般化 Tribonacci 数列および一般化 Pell Padovan 数列から構築された巡回行列、r-巡回行列、準巡回行列、およびハンケル行列のユークリッドノルムおよびスペクトルノルムの明示的公式を導出する。行列ノルムの不等式と再帰的恒等式を用いて、スペクトルノルムのタイトな上界および下界を確立し、数列の項と初期値を含む閉形式の表現を提供する。

ABSTRACT

In this paper some properties of generalized tribonacci and generalized Padovan sequence are presented. Also the Euclidean norms of circulant, $r$-circulant, semi-circulant and Hankle matrices with above mentioned sequences are calculated. The upper and lower bounds of spectral norms are also obtained.

研究の動機と目的

• 一般化 Tribonacci 数列および一般化 Pell Padovan 数列から構築された特別な行列（巡回、r-巡回、準巡回、ハンケル）の構造的およびノルム的性質を調査すること。
• これらの行列のユークリッドノルム、スペクトルノルム、および最大行/列ノルムの正確な表現を計算すること。
• 行列ノルムの不等式と再帰的恒等式を用いて、スペクトルノルムの非自明な上界および下界を確立すること。
• フィボナッチおよびルカスに基づく行列に関する先行研究を、より広い初期条件を有する高階線形再帰に拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、任意の初期条件を伴う3階線形再帰関係を用いて、一般化 Tribonacci 数列および一般化 Pell Padovan 数列を定義する。
• これらの数列を要素として用いて、4種類の行列型—巡回、r-巡回、準巡回、ハンケル—を構築する。
• ユークリッドノルムは、行列の対角線および行ごとの要素の二乗和を用いて計算する。
• スペクトルノルムの境界は、不等式 $ \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_E \leq \|A\|_2 \leq \|A\|_E $ に、ハダマード積の推定と最大行/列ノルムの解析を組み合わせて導出する。
• 数列の和に関する恒等式と再帰に基づく簡略化を用いて、理論的境界を精緻化する。
• 特にハダマード積に関する定理2.3を活用した行列分解とノルム比較技術により、理論的境界の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化 Tribonacci 数列および一般化 Pell Padovan 数列から構成されたハンケル行列の正確なユークリッドノルムは何か？
• RQ2 行列ノルムの不等式を用いて、このような行列のスペクトルノルムのタイトな上界および下界をどのように導出できるか？
• RQ3 初期条件および再帰パラメータは、r-巡回行列および準巡回行列のノルム挙動にどのような役割を果たすか？
• RQ4 これらの数列から構築されたハンケル行列のスペクトルノルムに対して、閉形式の表現を得ることは可能か？
• RQ5 これらの構造的行列において、最大行ノルムおよび最大列ノルムは、スペクトルノルムおよびユークリッドノルムとどのように関係するか？

主な発見

• 要素 $ a_{ij} = Z_{i+j-1} $ を持つ $ n \times n $ ハンケル行列のユークリッドノルムは、$ \|A\|_E = \left( Z_{2n}^2 + 2Z_{2n-1}^2 + 2Z_{2n-2}^2 + Z_{2n-3}^2 + Z_{2n-4}^2 - 2Z_n^2 - 4Z_{n-1}^2 - 4Z_{n-2}^2 - 2Z_{n-3}^2 - 2Z_{n-4}^2 + S \right)^{1/2} $ で与えられ、ここで $ S = Z_{-2}^2 + Z_{-1}^2 + b^2 + c^2 + 2a^2 + 2(T - a^2) $ である。
• スペクトルノルムは $ \frac{1}{\sqrt{n}}\|A\|_E \leq \|A\|_2 \leq \sqrt{\left(1 + Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2 - Z_1^2\right)\left(Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2\right)} $ を満たし、ハダマード積と行/列ノルムの境界を用いて導出される。
• ハンケル行列の $ \ell^1 $ および $ \ell^\infty $ ノルムは、ともに $ Z_{2n+4} - Z_{n+4} $ に等しく、一般化 Pell Padovan 数列の和の恒等式から導出される。
• 最大行ノルム $ r_1(A) $ および最大列ノルム $ c_1(A) $ は、それぞれ $ \sqrt{Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2} $ および $ \sqrt{1 + Z_{n+2}^2 - Z_{n-1}^2 - Z_{n-3}^2 + T - Z_0^2 - Z_1^2} $ として表される。
• 境界はタイトであり、初期値 $ a, b, c $ および再帰パラメータ $ p, q, r $ に明示的に依存しており、特殊ケースではフィボナッチおよびペル数列に対する既知の結果が回復される。
• 本研究の結果は、初期条件が任意のものである3階線形再帰にまで、フィボナッチに基づく行列のスペクトルノルムに関する先行研究を一般化する。