[論文レビュー] Some insights on bicategories of fractions - III

Matteo Tommasini|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2014

Rings, Modules, and Algebras参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、双圏間の擬関手がそれらの分数の双圏の同値を誘導するための必要十分条件を確立し、Pronkの分数の双計算（bicalculus of fractions）を一般化する。主な結果は、このような擬関手が局所化された双圏の同値に拡張可能である条件を、射の飽和条件によって特定することである。

ABSTRACT

We fix any bicategory $\mathscr{A}$ together with a class of morphisms $\mathbf{W}_{\mathscr{A}}$, such that there is a bicategory of fractions $\mathscr{A}[\mathbf{W}_{\mathscr{A}}^{-1}]$. Given another such pair $(\mathscr{B},\mathbf{W}_{\mathscr{B}})$ and any pseudofunctor $\mathcal{F}:\mathscr{A} ightarrow\mathscr{B}$, we find necessary and sufficient conditions in order to have an induced equivalence of bicategories from $\mathscr{A}[\mathbf{W}_{\mathscr{A}}^{-1}]$ to $\mathscr{B}[\mathbf{W}_{\mathscr{B}}^{-1}]$. In particular, this gives necessary and sufficient conditions in order to have an equivalence from any bicategory of fractions $\mathscr{A}[\mathbf{W}_{\mathscr{A}}^{-1}]$ to any given bicategory $\mathscr{B}$.

研究の動機と目的

• 双圏間の擬関手がそれらの分数の双圏の同値を誘導する条件を特徴づけること。
• Pronkの分数の双計算を、局所化された双圏の同値条件を含む形に一般化すること。
• 局所化の性質を保証するために、射が源の内部同値に写される仕組みにおける飽和の役割を明確にすること。
• 普遍性を用いて、擬関手が局所化された双圏間の擬関手に拡張可能であるための基準を提供すること。
• 飽和と擬自然性を用いて、分数の双圏が任意の与えられた双圏と同値となるための条件を確立すること。

提案手法

• Pronkの分数の双圏の構成（BF条件）を用い、双計算の分数（bicalculus of fractions）の枠組みを活用する。
• 射のクラスの右飽和の概念を導入し、Wの飽和を、あるg, hについてf∘gとg∘hがWに属するようなすべての射fとして定義する。
• 局所化擬関手U_W: A → A[W⁻¹]の普遍性を用いて、Wに属する射が内部同値に写される条件を分析する。
• 円筒双圏構成Cyl(C)を用いて擬自然同値をモデル化し、W-射へのその作用を分析する。
• 双圏における図式的推論を用いて、局所化関手の整合性条件（例：(B5)）を検証する。
• U_Wを含む図式が同値の意味で可換となるような擬自然同値κと擬関手Gの存在によって同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双圏A, Bとそれぞれの射のクラスW_A, W_Bについて、擬関手F: A → BがA[W_A⁻¹]とB[W_B⁻¹]の同値を誘導するための条件は何か？
• RQ2 W_Aに属する射がB[W_B⁻¹]における内部同値に写されるために、飽和が果たす正確な役割は何か？
• RQ3 局所化の普遍性を用いて、擬関手Fが局所化された双圏間の擬関手に拡張可能となる条件は何か？
• RQ4 円筒双圏構成を用いて、W-射を保存する擬自然同値を特徴づけるにはどうすればよいか？
• RQ5 Fに課されるどのような条件が、局所化上に誘導される擬関手が双圏の同値となるかを保証するか？

主な発見

• U_Wを含む図式が同値の意味で可換となるような擬自然同値κの存在は、F(W_A) ⊆ W_B,satと同値である。
• F(W_A) ⊆ W_B,sat であることは、誘導された擬関手G: A[W_A⁻¹] → B[W_B⁻¹]が存在して同値となるための必要十分条件である。
• W_Bの飽和により、W_Aに属する射がB[W_B⁻¹]における内部同値に写されることが保証され、これは普遍性が成立する上で不可欠である。
• GはG₀(A) = F₀(A)およびG₁(A′, w, f) = (F₀(A′), F₁(w), F₁(f)）を満たすように構成可能であり、分数の構造を保存する。
• 局所化関手U_Wの整合性条件(B5)は、2-セルと結合子の図式的合成を用いて検証され、擬関手的であることが確認される。
• 誘導された同値は、各W_A-射を内部同値に写す関連する円筒擬関手μ_κを備えた擬自然変換κによって実現される。