[論文レビュー] Some integrable systems on Hurwitz spaces

Alexey Kokotov, D. Korotkin|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2001

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、有理写像に関連するヒルベルト空間上に、臨界値が「時間」として機能する新しい可積分系のクラスを導入する。これはエーレンスト方程式を一般化し、スカラー系を任意の genus に拡張し、一般化されたオイラー＝ダーボウックス方程式を導出する。解は tau 関数を介して平坦な計量（ダーボウックス＝エゴロフ計量）を生成し、その部分クラスはフォローリウス多様体と関連している。

ABSTRACT

Abstract. In this paper we introduce a new class of integrable systems, naturally associated to spaces of rational maps. The critical values of the maps play the role of ”times”. Our systems provide a natural generalization of the Ernst equation. For the scalar case we generalize our systems to Hurwitz spaces in arbitrary genus; the systems obtained in this way can be naturally called the generalized Euler-Darboux equations. We show that any solution of these equations defines a flat metric in RM (Darboux-Egoroff metric) via its tau-function; a subclass of solutions of generalized Euler-Darboux systems corresponds to some known classes of Frobenius manifolds. 1

研究の動機と目的

• 有理写像の空間と自然に関連する新しい可積分系のクラスの構築を目的とする。
• 臨界値を動的「時間」として導入することで、エーレンスト方程式を一般化することを目的とする。
• スカラー可積分系を任意の genus のヒルベルト空間に拡張し、一般化されたオイラー＝ダーボウックス方程式を導出することを目的とする。
• これらの系の解と tau 関数を介した平坦計量（ダーボウックス＝エゴロフ計量）との対応関係を確立することを目的とする。
• 既知のフォローリウス多様体に対応する解の部分クラスを同定することを目的とする。

提案手法

• リーマン球への分岐被覆をパラメトライズするヒルベルト空間を用いて、可積分系の位相空間を定義する。
• 有理写像の臨界値を動的系における独立変数（「時間」）として扱う。
• バイハミルトニアン構造を持つヒルベルト空間上のハミルトニアン流を用いて可積分系を構築する。
• スカラー系における任意の genus における支配方程式として、一般化されたオイラー＝ダーボウックス方程式を導出する。
• 系の tau 関数を用いて、時間の空間上に平坦計量（ダーボウックス＝エゴロフ計量）を構成する。
• 解が計量と前ポテンシャルを介してフォローリウス多様体構造をもたらす条件を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間上の可積分系は、有理写像の空間とどのように自然に定義されるか？
• RQ2 有理写像の臨界値は、可積分系においてどのように自然な「時間」として機能するか？
• RQ3 この枠組みを用いて、任意の genus におけるエーレンスト方程式はどのように一般化されるか？
• RQ4 一般化されたオイラー＝ダーボウックス系の解から、どのような幾何的構造（例：平坦計量）が生じるか？
• RQ5 一般化されたオイラー＝ダーボウックス系のどの解がフォローリウス多様体に対応するか？

主な発見

• 本稿では、有理写像の臨界値が動的時間として機能するヒルベルト空間上に、新しい可積分系のクラスを構築した。
• 一般化されたオイラー＝ダーボウックス方程式は、任意の genus におけるスカラー系の支配方程式として出現する。
• 一般化されたオイラー＝ダーボウックス系の解は、その tau 関数を介して平坦計量（ダーボウックス＝エゴロフ計量）を定義する。
• 解の一部クラスは、既知のフォローリウス多様体に対応し、可積分系とフォローリウス構造との間の幾何的関係を確立する。
• この枠組みにより、エーレンスト方程式が高 genus ヒルベルト空間に拡張され、構造が一般化された。
• 系の tau 関数は計量接続を符号化し、ダーボウックス＝エゴロフ計量の直接的構成を可能にする。