[論文レビュー] Some invariance properties of cyclic cohomology with coefficients

Ilya Shapiro|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、モノイダル圏における係数付き巡回コホモロジーの導来的定義を提示し、モリタおよび2-モリタ不変性といった不変性性質を強化する。主たる貢献は定理4.31であり、2ファンクター的枠組みを通じて、異なるモノイダル圏における巡回コホモロジーに対する一般化されたシャピロ型補題を確立し、非半単純な設定における従来定義の限界を解消する。

ABSTRACT

In this paper, we further explore the conceptual approach to cyclic cohomology with coefficients. In particular we give a derived version of the definition with better invariance properties. We show that the new definition agrees with the old under certain conditions and we prove, for the new definition, both its Morita invariance and its $2$-Morita invariance, under suitable interpretations of these terms. More generally, we prove a version of Shapiro's lemma for cyclic cohomology with coefficients.

研究の動機と目的

• モノイダル圏における係数付き巡回コホモロジーの導来的かつホモロジカルに堅牢な定義を構築し、不変性性質を向上させること。
• 適切なカテゴリカルな解釈のもとで、新しい定義がユニタリな結合的代数についてモリタ不変性および2-モリタ不変性を満たすことを確立すること。
• 2ファンクター間のモジュール2カテゴリの間の関係を用いて、2ファンクター的枠組みにおいて、係数付き巡回コホモロジーへの一般化されたシャピロの補題を定式化すること。
• 特に非半単純なホイープ代数の設定において、反モジュールおよび対称2反トレースの役割を明確にすること。
• カテゴリカルおよび高階カテゴリカル構造を用いて、タイプAおよびBのホイープ-巡回コホモロジーの既存のアプローチを統合・拡張すること。

提案手法

• 本稿は、[HKS]とは異なる新しいアプローチにより、アーベル的モノイダル圏における前ココサイクル対象を構成し、導来ホモロジー的性質を実現する。
• 2-モリタ同値性のもとで不変性を保つように、ココサイクル対象の代わりに前ココサイクル対象を用いる導来的バージョンの巡回コホモロジーを導入する。
• この手法は、カテゴリカルな概念としての2反トレースに依拠し、$Χ_{\mathcal{C}}(\mathcal{C}^{op})$におけるHom対象上のヤオダの議論によって誘導される自己同型を用いる。
• 主な設定として、モノイダル圏$\mathcal{C}$における左$A$-モジュールの圏を用い、双対性およびモジュール圏構造が構成の中心的役割を果たす。
• 双閉圏を組み込み、$\mathcal{Z}'_{\mathcal{C}}(\mathcal{C}^{op})$を対称2反トレースの圏として定義し、SAYD反モジュールの一般化を実現する。
• 重要な技術的手段として、特にモノイダル関手$F: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$に対して$^*F$を用いた、カテゴリ間での構造の転送を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにすれば、モリタおよび2-モリタ同値性のもとでより良い不変性を達成するように、係数付き巡回コホモロジーを再定義できるか？
• RQ2 新しい導来的定義の巡回コホモロジーは、古典的定義とどの程度一致し、どこで相違するのか？
• RQ3 2ファンクター的枠組みを用いて、モノイダル圏における係数付き巡回コホモロジーに対して一般化されたシャピロの補題を定式化できるか？
• RQ4 ホイープ-巡回コホモロジーの文脈において、反モジュールおよび対称2反トレースのカテゴリカルな役割は何か？
• RQ5 自然な$S^2$-類似自己同値が存在しない場合、一般のモノイダル圏におけるSAYDモジュールおよび反モジュールの定義にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 命題4.7で示されるように、射影的単位を持つモノイダル圏では、係数付き巡回コホモロジーの導来的定義は古典的定義と一致する。
• 命題4.10で示されるように、ユニタリな結合的代数について、新しい定義はモリタ不変性を示す。
• 本稿は、一般化された意味で2-モリタ不変性を証明する：2つのモノイダル圏$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$がそのモジュール2カテゴリ間に2ファンクターで関係しているとき、適切な条件下で巡回コホモロジーは保存される。
• 定理4.31は、$\mathcal{C}$と$\mathcal{D}$が2-モリタ同値でなくてもよい一般の随伴型結果を確立し、適切な双モジュール$\mathcal{N}$を介して成立する。
• $\mathcal{C} = {}_H\mathcal{M}$の場合、新しい定義は係数付きホイープ-巡回コホモロジーを回復する。非半単純なホイープ代数では、旧定義とは異なることが、注記4.23で指摘されている。
• $\mathcal{Z}'_{\mathcal{C}}(\mathcal{C}^{op})$は、対称2反トレースの圏として特定され、自然な$S^2$-自己同値が存在しない状況において、SAYD反モジュールの概念を一般化する。