[論文レビュー] Some inverse limits of Cuntz algebras

Katsunori Kawamura|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 34被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、自然数 $\mathbb{N}$ 上の割り切れ順序 $\preceq$ によってインデックス付けされた、非自明なCuntz代数の逆系 $\{\mathcal{O}_n : 2 \leq n < \infty\u007d$ を構成し、その逆極限が $*$-同型であることを示している。その極限は $\mathcal{O}_\infty$ に同型である。この構成により、極限が $C^*$-代数であっても、$K_0$-ファンクターが逆極限に関して不連続であることが示され、$\varprojlim K_0(\mathcal{O}_n) \not\cong K_0(\varprojlim \mathcal{O}_n)$ であることが示された。

ABSTRACT

We construct a nontrivial inverse system of Cuntz algebras $\{{\cal O}_{n}:2\leq n

研究の動機と目的

• 自然数 $\mathbb{N}$ 上の割り切れ順序 $\preceq$ によってインデックス付けされた、非自明なCuntz代数の逆系を構成できるかという問いを解決すること。
• このような系の逆極限の構造を特定すること、特にそれが $\mathcal{O}_\infty$ に同型であるかどうかを特定すること。
• この構成が、$C^*$-代数理論における逆極限における $K_0$-ファンクターの連続性に与える影響を調査すること。
• Cuntz代数間のユニタリ $*$-準同型の役割を明確にすること、特に $n > m$ のとき $\mathcal{O}_m$ から $\mathcal{O}_n$ への写像が存在しないという事実を踏まえて、このような逆系を定義する上での整合性について考察すること。

提案手法

• 自然数 $\mathbb{N}$ における割り切れ順序 $\preceq$ によってインデックス付けされた、Cuntz代数の有向系 $\{\mathcal{O}_{n+1}\}$ を構成し、$n \preceq m$ のときのみ存在するユニタリ $*$-準同型を用いる。
• $n \preceq m$ のとき、$f_{m,n}: \mathcal{O}_{m+1} \to \mathcal{O}_{n+1}$ を明示的な埋め込みに基づいて定義する。この埋め込みは、$\mathcal{O}_r$ 上のゲージ作用に由来する。
• $\mathcal{O}_r$ 上のゲージ作用 $\gamma$ を用いて、スペクトル部分空間 $A_{r,n}^{(l)}$ を定義し、繰り返しの商写像 $q_1 \circ \cdots \circ q_{n-1}$ を通じて $A_{r,n}$ が $\mathcal{O}_r$ の $C^*$-部分代数として同定できることを示す。
• スペクトル部分空間の交わり $\bigcap_n A_{r,n}^{(0)} = A_{r,1}^{(0)} \cong UHF_r$ を用いて、逆極限 $\varprojlim A_{r,n}$ が型 $\{r^l : l \geq 1\}$ のUHF代数 $UHF_r$ に同型であることを示す。
• 写像の整合性を確認するため、恒等式 $f_{1,2} \circ f_{2,4} = f_{1,4}$ が成り立つことを検証し、逆系の構造が正当であることを裏付ける。
• $K_0$-群の解析：$K_0(\varprojlim \mathcal{O}_n) \cong \mathbb{Z}_{(r^\infty})$ であることを示し、一方で $\varprojlim K_0(\mathcal{O}_n) \cong \varprojlim \mathbb{Z}/(r_n - 1)\mathbb{Z}$ は非可算であることを示し、不連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数 $\mathbb{N}$ 上の割り切れ順序 $\preceq$ によってインデックス付けされた、非自明なCuntz代数の逆系 $\{\mathcal{O}_n\}$ が存在するか。
• RQ2 このような系の逆極限の構造は何か、特に $\mathcal{O}_\infty$ との関係において。
• RQ3 $K_0$-ファンクターが、極限が $C^*$-代数であっても、逆極限に関して不連続になり得るか。
• RQ4 Cuntz代数間のユニタリ $*$-準同型は、割り切れ順序 $\preceq$ に関してどのように振る舞い、整合的な逆系を定義するために使用可能か。

主な発見

• 割り切れ順序 $\preceq$ によってインデックス付けされた逆系 $\{\mathcal{O}_n : 2 \leq n < \infty\}$ の逆極限は、$*$-同型である。すなわち、$\varprojlim \mathcal{O}_n \cong \mathcal{O}_\infty$ である。
• $\mathcal{O}_\infty$ に同型である。
• $K_0$-群の逆極限 $\varprojlim K_0(\mathcal{O}_n) \cong \varprojlim \mathbb{Z}/(r_n - 1)\mathbb{Z}$ は非可算であり、$K_0$-ファンクターが逆極限に関して不連続であることを示している。
• この構成は、$\mathcal{O}_r$ 上のゲージ作用を用いてスペクトル部分空間を定義し、逆極限を $0$-スペクトル部分空間の交わり $\bigcap_n A_{r,n}^{(0)} = A_{r,1}^{(0)} \cong UHF_r$ として実現している。
• $f_{m,n}$ は生成元上で明示的に定義されており、恒等式 $f_{1,2} \circ f_{2,4} = f_{1,4}$ が公式から直接検証されている。
• この結果により、逆極限が非全順序集合によってインデックス付けされた $C^*$-代数の系であっても、その極限が $\mathcal{O}_\infty$ になり得ることが示され、$K_0$-ファンクターがこの場合に逆極限と可換でないことが明らかになった。