[論文レビュー] Some kinds of $(\overline{\in},\overline{\in}\vee \overline{q})$-fuzzy filters of $BL$-algebras

Xueling Ma, Jianming Zhan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2009

Advanced Algebra and Logic参考文献 28被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、$BL$-代数における$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィフィルターを導入し、含意的、正含意的、およびファンタスティック型の性質について調査する。主な貢献は、ファジィ集合が$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターであるための必要十分条件が、それが同時により$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ正含意的フィルターかつ$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィファンタスティックフィルターであることであることを証明し、これらの一般化されたファジィフィルター型の間で基本的な同等性を確立することにある。

ABSTRACT

The concepts of $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters of $BL$-algebras are introduced and some related properties are investigated. Some characterizations of these generalized fuzzy filters are derived. In particular, we describe the relationships among ordinary fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters, $(\in,\ivq)$-fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters and $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy (implicative, positive implicative and fantastic) filters of $BL$-algebras. Finally, we prove that a fuzzy set $F$ on a $BL$-algebra $L$ is an $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy implicative filter of $L$ if and only if it is both $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy positive implicative filter and an $(\overline{\in},\overline{\in} \vee \overline{q})$-fuzzy fantastic filter.

研究の動機と目的

• 本稿は、$BL$-代数におけるファジィフィルター理論を拡張するために、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィフィルター概念を導入することを目的とする。
• 本稿は、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的、正含意的、およびファンタスティックフィルターの性質と特徴づけを調査することを目的とする。
• 本稿は、通常のファジィフィルター、$(\in,\in\!\vee q)$-ファジィフィルター、および$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィフィルターの間の関係を明確にすることを目的とする。
• 本稿は、ファジィ集合が$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターであるための必要十分条件を、その正含意的およびファンタスティックなフィルター性質に基づいて確立することを目的とする。

提案手法

• 本稿は、ファジィ点とファジィ集合の間の『属する』($\overline{\in}$)および『準共存』($\overline{q}$)の概念を用いて、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィフィルターを定義する。
• 本稿は、$t \in (0.5,1]$に対してレベルカット$U(F;t) = \{x \in L \mid F(x) \geq t\}$を用い、ファジィフィルターの性質とクリップスフィルターの性質を結びつける。
• 本稿は、$BL$-代数におけるクリップス含意的、正含意的、およびファンタスティックフィルターの既知の特徴づけを用いて、ファジィ版の対応する条件を導出する。
• 本稿は、先行研究における$(\in,\in\!\vee q)$-ファジィフィルターの概念を参照点として用い、新しい$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィフレームワークと比較・対比する。
• 本稿の証明戦略は、レベルカット$U(F;t)$が含意的フィルターであるための必要十分条件が、それが同時に正含意的フィルターかつファンタスティックフィルターであることであることを示すことに依拠している。
• 本稿の主な技術的結果は、$BL$-代数の代数的公理およびさまざまなフィルター型の定義に基づいた論理的同値性と含意の鎖を用いて導出される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィフィルターは、$BL$-代数における通常のファジィフィルターおよび$(\in,\in\!\vee q)$-ファジィフィルターとどのように関係しているか？
• RQ2 ファジィ集合が$BL$-代数において$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターであるための必要十分条件は何か？
• RQ3 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ正含意的フィルターのクラスと$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィファンタスティックフィルターのクラスの間には、構造的同等性があるか？
• RQ4 $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターのクラスは、他の二つのクラスの論理的積によって完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 任意の$BL$-代数$L$上のファジィ集合$F$が$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターであるための必要十分条件は、$F$が同時に$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ正含意的フィルターかつ$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィファンタスティックフィルターであることである。
• すべての$t \in (0.5,1]$に対して、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルター$F$のレベルカット$U(F;t)$は$L$の含意的フィルターであり、したがって正含意的フィルターおよびファンタスティックフィルターでもある。
• $(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターのクラスは、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ正含意的フィルターのクラスおよび$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィファンタスティックフィルターのクラスの真に部分集合である。
• 本稿は、ファジィフィルター型の階層を確立し、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターが最も制限が厳しいことを示している。これは、正含意的およびファンタスティックな性質の両方を要請する。
• 本稿の結果は、$\overline{\in}, \overline{q}$-関係を用いた、より洗練されたフレームワークを導入することで、$(\in,\in\!\vee q)$-ファジィフィルターに関する先行研究を一般化している。
• 同等性の結果により、$(\overline{\in},\overline{\in}\vee\overline{q})$-ファジィ含意的フィルターの代数的特徴づけが新たに得られ、その検証が二つのより単純な条件の確認に簡略化される。