[論文レビュー] Some knot theory of complex plane curves

Lee Rudolph|ArXiv.org|Jun 8, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 20

ひとこと要約

この論文は、特異点の位相的性質を3次元球面上のリンクを通じて分析することにより、複素代数的平面曲線と古典的絡み目理論との間の基礎的関係を確立する。特異点の局所的位相的性質は、その特異点のリンク（絡み目）として記述され、このリンクの性質を記述する不変量（例えば、絡み目の群やシグニチャ）を導入することで、曲線特異点の理解に位相的枠組みを提供する。

ABSTRACT

This survey of some of the more topological aspects of the placement problem for complex curves in complex surfaces was originally published in L'Enseignement Mathematique 29 (1983). The present LaTeXed redaction corrects several typographical errors without, I hope, introducing new ones; some minor emendations and references to post-1983 results have been added as footnotes, but I have not made a thoroughgoing effort to update the text. Anyone having further information -- for instance, on the current status of questions incorrectly described as still open -- is encouraged to let me know!

研究の動機と目的

• 複素平面曲線の特異点を研究するための位相的枠組みを、絡み目理論を用いて確立すること。
• 複素曲線の特異点におけるリンクを、3次元球面上の絡み目として分析すること。
• これらのリンクの位相的性質を捉える不変量（例えば、絡み目の群やシグニチャ）を構築すること。
• 局所的な解析的データ（例えば、プアソワパrametrization）を、グローバルな絡み目理論的不変量と結びつけること。
• 曲線特異点の研究を通じて、代数幾何学と低次元位相幾何学の橋渡しをすること。

提案手法

• 特異点近傍における複素平面曲線の局所的分岐を記述するためのプアソワパラメトライゼーションの使用。
• 特異点の周囲の小さな3次元球面と曲線の交わりとして、特異点のリンクを構成すること。
• 得られたS³におけるリンクを古典的絡み目理論を用いて分析し、特に絡み目の群やシグニチャに注目すること。
• 形式的べき級数とm進位相を用いて、g(k)（k番目の近似の次数）といった不変量を定義・計算すること。
• リーマン面による特異点の解消を用いて曲線を均一化し、分岐を定義すること。
• ザリスキ＝ヴァン・カムペンの定理とブレードモノドロミー技法を用いて、曲線の補集合の基本群を計算すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素平面曲線の孤立特異点近傍の位相的性質は、どのように絡み目理論を用いて記述できるか？
• RQ2 特異点のリンクの不変量（例えば、絡み目の群、シグニチャ）は、曲線の解析的型をどのように反映するか？
• RQ3 プアソワ展開から得られる不変量は、古典的絡み目不変量とどのように関係するか？
• RQ4 曲線の補集合の基本群は、どの程度局所的データから計算可能か？
• RQ5 特異点の解消と、それによって得られる絡み目またはリンク構造との関係は何か？

主な発見

• 複素平面曲線の特異点におけるリンクは、3次元球面上に定義された明確な絡み目またはリンクであり、特異点に関する本質的な位相的情報を保持する。
• 曲線特異点のリンクの絡み目の群は、特異点の異なる解析的型を区別できる強力な不変量である。
• セイフェルト形式を用いて計算されるリンクのシグニチャは、特定の種類の特異点（例えば、非自明な正のブレードを持つ場合の正のシグニチャを持つ特異点）に対して位相的障害を示す。
• プアソワ近似の逐次的結果から得られる整数g(k)は、局所的位相的性質を符号化しており、曲線の重複度や交差構造と関係する。
• 複素射影平面CP²における曲線の補集合の基本群は、曲線がただ一つの普通の二重点しか持たない場合、アーベル群であることがデリーニュの定理によって示されている。
• 6個のcusps（カスプ）をもち、それらが円錐曲線上にない6次曲線のリンクの基本群は、ザリスキ＝ヴァン・カムペン法によりℤ/6ℤに同型であると計算された。