[論文レビュー] Some $L_{p}$-estimates for elliptic and parabolic operators with measurable coefficients

Н. В. Крылов|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2012

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、可測係数をもつ2階楕円型および放物型方程式について、$L_p$-推定を確立し、2階微分係数および $L_p$ 空間における解の作用素の推定についてホルダー型の境界を証明する。完全非線形方程式の理論で用いられる主要な結果について、クリロフ＝サフォノフ理論および確率的技法に依拠して、厳密な証明を提供する。VMO係数および $L_q$-ドリフト条件への応用を含む。

ABSTRACT

We consider linear elliptic and parabolic equations with measurable coefficients and prove two types of $L_{p}$-estimates for their solutions, which were recently used in the theory of fully nonlinear elliptic and parabolic second order equations in \cite{DKL}. The first type is an estimate of the $γ$th norm of the second-order derivatives, where $γ\in(0,1)$, and the second type deals with estimates of the resolvent operators in $L_{p}$ when the first-order coefficients are summable to an appropriate power.

研究の動機と目的

• 可測係数をもつ2階楕円型および放物型作用素について、完全非線形方程式の文脈において $L_p$-推定を確立すること。
• $\gamma \in (0,1)$ に対して $|D^2u|^\gamma$ の $L_p$-推定について、先行文献で引用されながらも証明が与えられていなかったギャップを埋める完全な証明を提供すること。
• $L_q$-ドリフト係数をもつ作用素について、$L_p$ における一様な解の作用素推定を導出することにより、完全非線形方程式理論で用いられる結果を拡張すること。
• 解の作用素 $R_\mu = (\mu - L)^{-1}$ に関する一般化および厳密な推定を証明し、$\mu$ が大きい場合にその有界性が $\mu$ に依存しないことを示すこと。
• 主結果を支える新しい非自明な推定、例えば補題1.6およびその確率的対応版定理3.1を提示すること。

提案手法

• 解の振動および可積分性を制御するため、クリロフ＝サフォノフのハルナック不等式および[8]に由来するそのバージョン（[6]に由来）を用いる。
• 解の作用素 $R_\mu$ の $L_d$-ノルムを制御するため、最大原理およびアレクサンドロフ推定を適用する。
• 滑らか化技術および $\lambda$-凸関数 $\psi_\lambda$ を用いて、$L\psi^\varepsilon_\lambda - \mu\psi^\varepsilon_\lambda \leq -f^\varepsilon + (|b|\sqrt{\lambda} + \lambda\,{\rm tr}\,a - \mu)\psi^\varepsilon_\lambda$ を満たす下位解を構成し、ノルム推定を可能にする。
• マルチンキエヴィチの補間定理を用いて、$p = d$ における $L_p$-推定を一般の $p \geq d$ に拡張し、一様な有界性を保証する。
• ファトウの補題および近似論法を用いて、滑らかでない $L_p$ データへの一般化を実現し、ノルム不等式を保存する。
• 職業測度および基本解の確率的対応を用いて、解の作用素の $L_1$-ノルム推定を導出し、$\mu$-依存性における二分岐的挙動の必要性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測係数をもつ楕円型および放物型作用素について、$\gamma \in (0,1)$ に対して $|D^2u|^\gamma$ の $L_p$-推定を、$b$ および $c$ が有界である場合を含めて、厳密に確立できるか。
• RQ2 $\mu$ が大きい場合に、$\|R_\mu g\|_{L_p} \leq N\|g\|_{L_p}$ となる一様な解の作用素推定が得られるようなドリフト係数 $b$ の条件は何か。
• RQ3 $b \in L_q$ で $q \leq p$ のとき、解の作用素 $R_\mu = (\mu - L)^{-1}$ の $L_p$-ノルムが $\mu$ に一様に有界に抑えられる条件は何か。
• RQ4 解の作用素推定における定数 $N$ がパrameter $\delta$, $K$, $d$, および $\mu$ にどのように依存するか。
• RQ5 $\mu$-依存性における二分岐的挙動が避けられないことを示し、放物型方程式の可解性にどのような意味を持つのか。

主な発見

• 任意の $L \in \mathfrak{L}_{\delta,K}$ に対して、$\delta$, $K$, $d$ のみに依存する $\gamma \in (0,1]$ および $N$ が存在し、$$\int_{C_{1,1}(1,0)} |D^2u|^\gamma \,dxdt \leq N\left(\int_{C_{2,1}} |Lu|^{d+1} \,dxdt\right)^{\gamma/(d+1)} + N\sup_{\partial'C_{2,1}} |u|^\gamma$$ が成り立ち、2階微分係数のホルダー連続性が証明される。
• $p = d$ のとき、$\mu \geq K\lambda + \mu_\theta\lambda^{1/2}$ に対して、解の作用素ノルムは $\|R_\mu\|_{L_d \to L_d} \leq N\lambda^{-1}$ を満たし、$\theta$ を $N'\theta \leq 1/2$ となるように選ぶことで一様有界性が保証される。
• すべての非負 $f \in L_d$ に対して、下位解の構成および最大原理を用いて、$\|R\mu f\|_{L_d} \leq N\lambda^{-1}\|f\|_{L_d}$ が成り立つ。
• 一般の $p \geq d$ に対して、マーチンキエヴィチの補間定理により、$b \in L_q$ で $q \leq p$ のとき、$\|R_\mu g\|_{L_p} \leq N\|g\|_{L_p}$ が $\mu$ に依存しない $N$ を用いて成り立ち、一様有界性が保証される。
• 原点に特異点をもつ基本解の $L_1$-ノルムは $1/\nu^2 = [\sqrt{M^2 + 4\mu} + M]^2 / (4\mu^2)$ に等しく、解の作用素ノルムが $\mu$ に一様に有界に抑えられないことの必要性が示される。
• $\mu$-依存性における二分岐的挙動は避けられず、これはコロナリー5.5の形と一致し、推定の鋭さが確認される。