[論文レビュー] Some Liouville Theorems for the p-Laplacian

Isabeau Birindelli, Demengel, F.|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2001

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 23

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上で $h(x) \sim a|x|^\gamma$ のように大きな $|x|$ に対して漸近する関数 $h(x)$ を持つ $p$-ラプラシアン不等式 $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ の非負弱解に対して、鋭いリウヴィル定理を確立する。$p-1 < q \leq \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ かつ $\gamma > -p$ のとき、$N > p$ ならば $u \equiv 0$ であり、$N \leq p$ ならば有界な下界を持つ解は定数となる。これは、非線形的 $p$-ラプラシアン設定における、古典的な結果をべき関数型重みを伴う場合に拡張したものである。

ABSTRACT

We present several Liouville type results for the $p$-Laplacian in $\R^N$. Suppose that $h$ is a nonnegative regular function such that $$ h(x) = a|x|^γ { m for}\ |x|\ { m large},\ a&gt;0\ { m and}\ γ&gt; -p. $$ We obtain the following non -existence result: 1) Suppose that $N&gt;p&gt;1$, and $u\in W^{1,p}_{loc} (\R^N)\cap {\cal C} (\R^N)$ is a nonnegative weak solution of $ - { m div} (| abla u|^{p-2 } abla u) \geq h(x) u^q \;\;\mbox{in }\; \R^N $ . Suppose that $p-1&lt; q\leq {(N+γ)(p-1)\over N-p}$ then $u\equiv 0$. 2) Let $N\leq p$. If $u\in W^{1,p}_{loc} (\R^N)\cap {\cal C} (\R^N)$ is a weak solution bounded below of $-{ m div} (| abla u|^{p-2 } abla u)\geq 0$ in $\R^N$ then $u$ is constant. 3) Let $N&gt;p$ if $u$ is bounded from below and $-{ m div} (| abla u|^{p-2 } abla u)=0$ in $\R^N$ then $u$ is constant. 4)If $ -Δ_p u+h(x) u^q\leq 0, $. If $q&gt; p-1$, then $u\equiv 0$.

研究の動機と目的

• 非負弱解 $u$ に対して $-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ が $\mathbb{R}^N$ 上で成り立つ場合の非存在結果（リウヴィル定理）を確立すること。
• 非自明な解が存在しうる範囲の指数 $q$ の最適閾値を特定すること。
• ラプラシアン（$p=2$）に対して知られているリウヴィル結果を、一般の $p$-ラプラシアン作用素へと拡張すること。
• 重み $h(x)$ の成長率 $\gamma$ が解の挙動に与える影響を分析すること。
• 有界な $p$-調和関数が $\mathbb{R}^N$ 上で定数であるという結果を、主定理の基礎とする。

提案手法

• アニュラス上に台を持つ重み付きカットオフ関数 $\zeta$ を用いてエネルギー推定を局所化し、弱形式での不等式をテストする。
• $\nabla\zeta$ と $u$ を含む低次の項を積分推定で制御するためにホlderの不等式を適用する。
• エネルギーおよび逆Poincaré型不等式を用いて $|\nabla u|$ の $L^p$ ノルム推定を導出する。
• $L^p$ ノルムの成長を制御するための再帰的不等式を満たす反復列 $\phi_n$ の構成。
• エネルギー推定における項のバランスを取るためにヤングの不等式を用い、$R \to \infty$ のときの衰減を導出し、$u \equiv 0$ を得る。
• $\alpha \geq 1$ に対して $u^\alpha$ を用いた反復的スケーリングにより、初期の $q$ の範囲を超えて非存在結果を拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $h(x) \sim a|x|^\gamma$ のとき、$-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ が $\mathbb{R}^N$ 上で非自明な非負弱解をもたないための $q$ の鋭い閾値は何か？
• RQ2 $h(x)$ の成長率 $\gamma$ は、解の存在または非存在にどのように影響するか？
• RQ3 $p=2$ の場合の非存在結果を、同じ臨界指数条件の下で $p \neq 2$ の $p$-ラプラシアンへと拡張できるか？
• RQ4 $\gamma > -p$ が非存在結果に対して最適であるか、$\gamma \leq -p$ の場合はどうなるか？
• RQ5 $\mathbb{R}^N$ 上で $p$-調和関数が有界であることは定数性を意味するか？ そして、エネルギー推定を用いてこの結果を証明できるか？

主な発見

• $N > p > 1$ かつ $\gamma > -p$ のとき、$p-1 < q \leq \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ ならば、$-\Delta_p u \geq h(x)u^q$ の任意の非負弱解 $u$ は恒等的にゼロである。
• $N \leq p$ のとき、$-\Delta_p u \geq 0$ を満たす任意の弱解 $u$ が下から有界ならば、それは定数である。
• 指数閾値 $q = \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ は鋭い：任意の $q > \frac{(N+\gamma)(p-1)}{N-p}$ に対して、非自明な非負解が存在する。
• $-\Delta_p u = |x|^\gamma u^q$ の方程式に対して、$\gamma \geq 0$ かつ $p-1 < q < \frac{(N+\gamma)(p-1)+p+\gamma}{N-p}$ のとき、径対称解は恒等的にゼロとなる。これは径対称性のもとで完全な非存在性を示唆する。
• $\gamma > -p$ である条件は最適である：$\gamma \leq -p$ のとき、非自明な $p$-調和関数が存在しうる。これはドゥラベクの結果による。
• $-\Delta_p u + h(x)u^q \leq 0$ で $q > p-1$ のとき、上界がない場合でも、$u^\alpha$ を用いた反復的スケーリングにより、すべての $q > p-1$ に対して $u \equiv 0$ が成り立つ。