[論文レビュー] Some local properties of subsolutons and supersolutions for a doubly nonlinear nonlocal parabolic $p$-Laplace equation

Agnid Banerjee, Prashanta Garain+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2020

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$p>2$ を満たす二重非線形非局所放物型 $p$-ラプラシアン方程式の弱下解について局所有界性を確立し、正の弱上解について逆 Hölder 不等式を導出する。エネルギー推定と放物型非局所 De Giorgi 法を用いて、局所有界性、新しい代数的不等式を用いた逆 Hölder 不等式、および対数的減衰推定を証明し、非局所二重非線形設定における将来の弱 Harnack 不等式の結果の基盤を築く。

ABSTRACT

We establish a local boundedness estimate for weak subsolutions to a doubly nonlinear parabolic fractional $p$-Laplace equation. Our argument relies on energy estimates and a parabolic nonlocal version of De Giorgi's method. Furthermore, by means of a new algebraic inequality, we show that positive weak supersolutions satisfy a reverse Hölder inequality. Finally, we also prove a logarithmic decay estimate for positive supersolutions.

研究の動機と目的

• 二重非線形非局所放物型 $p$-ラプラシアン方程式の正則性理論を構築すること。これは文献において未解決の分野である。
• 方程式 $\partial_t(u^{p-1}) + \mathcal{L}u = 0$ に対して $p>2$ の弱下解について、局所有界性推定を確立すること。
• 新しい代数的不等式を用いて、正の弱上解が逆 Hölder 不等式を満たすことを証明すること。
• エネルギーと反復技法を用いて、正の上解について対数的減衰推定を導出すること。これは将来の弱 Harnack 不等式の結果に貢献する。
• 古典的な De Giorgi 型手法を非局所的で二重非線形な放物型設定に拡張すること。

提案手法

• 局所領域における下解の成長を制御するためにエネルギー推定を用いる。
• 弱下解の局所有界性を証明するために、放物型非局所 De Giorgi 法の応用を行う。
• Felsinger と Kassmann の $p=2$ の結果を $p>2$ に一般化する新しい代数的不等式（補題 2.9）を導入する。
• 新しい不等式を用いて、正の弱上解について逆 Hölder 不等式を確立する。
• エネルギー推定と反復技法を用いて、正の上解について対数的減衰推定を導出する。
• 対称核 $K(x,y,t)$ が Hölder 型の境界を満たす分数次スケール $W^{s,p}$ 空間の枠組み内で作業を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重非線形非局所放物型 $p$-ラプラシアン方程式（$p>2$）の弱下解について、局所有界性を確立できるか？
• RQ2 正の弱上解は非局所的で二重非線形な設定において逆 Hölder 不等式を満たすか？
• RQ3 この非局所方程式の正の上解について、対数的減衰推定を証明できるか？
• RQ4 二重非線形放物型方程式に適用可能な非局所版の De Giorgi 法が存在するか？
• RQ5 新しい代数的不等式は、$p=2$ の場合を越えて正則性結果を拡張するために果たす役割は何か？

主な発見

• エネルギー推定と非局所放物型 De Giorgi 法を用いて、弱下解について局所有界性推定を確立した。
• 新しい代数的不等式により、正の弱上解について逆 Hölder 不等式を証明した。この不等式は $p=2$ の場合を一般化する。
• エネルギーと反復技法を用いて、正の上解について対数的減衰推定を導出した。これは空間時間領域における緩やかな減衰行動を示唆する。
• 新しい代数的不等式（補題 2.9）は、逆 Hölder 性質の証明に不可欠であり、$p>2$ に対して成り立つ。これは $p=2$ の既存結果を拡張する。
• これらの結果は、非局所二重非線形設定における弱 Harnack 不等式の研究に向けた基盤的ツールを提供する。これは現在未解決の問題である。
• 解析は、$\Lambda^{-1}|x-y|^{-(n+ps)} \leq K(x,y,t) \leq \Lambda|x-y|^{-(n+ps)}$ を満たす対称核を有する分数次 $p$-ラプラシアン作用素の文脈で行われた。