[論文レビュー] Some measure-preserving point transformations on the Wiener space and their ergodicity

Ali Süleyman Üstünel, Moshe Zakai|ArXiv.org|Feb 24, 2000

advanced mathematical theories参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、カ姆デイン＝マーティン空間値をとる有限個の多重イト＝ウィener積分の和によって誘導されるウィーナー空間上の測度を保存する変換を調査する。このような変換がウィーナー測度を保存するための必要十分条件は、摂動項が最初のウィーナー混合に属し、回転として作用することである。本稿は、カムデイン＝マーティン空間上のユニタリ作用素を用いた回転のエルゴディシティおよび混合性を特徴づけ、非確率的ユニタリ行列値関数 $ \gamma(t) $ を持つ変換 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ のエルゴディシティについても、必要十分条件を提示する。

ABSTRACT

Suppose that T is a map of the Wiener space into itself, of the following type: T=I+u where u takes its values in the Cameron-Martin space H. Assume also that u is a finite sum of H-valued multiple Ito-Wiener integrals. In this work we prove that if T preserves the Wiener measure, then necessarily u is in the first Wiener chaos and the transformation corresponding to it is a rotation in the sense of [9]. Afterwards the ergodicity and mixing of such transformations, which are second quantizations of the unitary operators on the Cameron-Martin space, are characterized. Finally, the ergocity of the transformation dY_t=gamma(t)dW_t, 0 \le t \le 1 where W is n-dimensional Wiener and gamma is non random is characterized

研究の動機と目的

• ウィーナー空間上の点変換 $ T = I + u $ がウィーナー測度を保存するようなクラスを特徴づけること、ここで $ u $ は $ H $-値の有限個の多重イト＝ウィーナー積分の和である。
• このような変換がエルゴディックまたは混合的であるのはいつかを特定すること、特にカムデイン＝マーティン空間上のユニタリ作用素の2次量子化によって生じる回転に注目する。
• 非確率的ユニタリ行列値関数 $ \gamma(t) $ を持つ変換 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ のエルゴディシティについて、必要十分条件を提示すること。
• マリヤマのガウス過程に関する有限次元の結果を、スペクトル理論および関数解析的技法を用いて無限次元ウィーナー空間へと拡張すること。

提案手法

• 著者たちは、多重イト＝ウィーナー積分の構造とウィーナー混合分解におけるその表現を用いて、変換 $ T = I + u $ の測度保存性を分析する。
• 変換 $ T $ がウィーナー測度を保存するためには、$ u $ が最初のウィーナー混合に属している必要があり、このとき $ T $ は [9] の意味で回転として作用することが示される。
• このような回転のエルゴディシティおよび混合性は、カムデイン＝マーティン空間上のユニタリ作用素のスペクトル理論、特にスペクトル測度 $ \theta \to d(\Pi_\theta h, h)_H $ を用いて特徴づけられる。
• 変換 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ の場合、$ \gamma(t) $ のスペクトル分解を用いて分析され、固有値が $ e^{i\psi_j(t)} $ であり、累積分布関数 $ \int_0^1 u(\theta - \psi_j(t))\, dt $ が $ \theta $ に関して連続であるかを検討する。
• 証明は、スペクトル測度が $ \theta = 0 $ で消えることによるエルゴディシティの特徴づけに依拠しており、$ T $ がエルゴディックであることと、$ n \to \infty $ のとき $ (R^n h, h)_H \to 0 $ であることが同値であるという事実を利用している。
• 著者たちは、マリヤマによるガウス過程のエルゴディシティの特徴づけを、連続性を伴うスペクトル測度 $ \delta R^n h $ に関連づけることで、無限次元設定へと応用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ u $ がカムデイン＝マーティン空間値の有限個の多重イト＝ウィーナー積分の和であるような変換 $ T = I + u $ がウィーナー測度を保存するのはどのような条件下か？
• RQ2 カムデイン＝マーティン空間上のユニタリ作用素の2次量子化によって誘導されるウィーナー空間上の回転が、エルゴディックまたは混合的であるのはいつか？
• RQ3 $ \gamma(t) $ が $[0,1]$ 上の非確率的ユニタリ行列値関数である変換 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ のエルゴディシティについて、必要十分条件は何か？
• RQ4 関連するユニタリ作用素のスペクトル的性質を用いて、無限次元ガウス過程のエルゴディシティをどのように特徴づけられるか？

主な発見

• ウィーナー空間上の変換 $ T = I + u $ がウィーナー測度を保存するのは、$ u $ が最初のウィーナー混合に属するときであり、このとき $ T $ は [9] の意味で回転として作用する。
• カムデイン＝マーティン空間上のユニタリ作用素 $ R $ によって誘導される回転のエルゴディシティは、すべての $ h \in H $ に対してスペクトル測度 $ \theta \to d(\Pi_\theta h, h)_H $ が連続であることと同値である。
• 変換 $ dY_t = \gamma(t)\, dW_t $ がエルゴディックであるための必要十分条件は、すべての $ j = 1, \dots, n $ に対して関数 $ \theta \mapsto \int_0^1 u(\theta - \psi_j(t))\, dt $ が $ \theta \in [0, 2\pi] $ で連続であることである。
• $ n $ が奇数の場合、$ \gamma(t) $ は正の測度の集合上で固有値が $ 1 $ または $ -1 $ である必要があり、これは累積分布関数の不連続性を意味し、したがって非エルゴディック性を示す。
• 変換 $ T $ が混合的であるための必要十分条件は、すべての $ f \in L^2_0(\mu) $ に対して $ a_n(f) = \mathbb{E}[(O^n f) \cdot f] \to 0 $ が $ n \to \infty $ のとき成り立つことであり、これは関連するユニタリ作用素に非定数固有関数が存在しないことと同値である。
• 本稿の結果は、スペクトル理論および関数解析的技法を用いて、マリヤマによる有限次元ガウス過程のエルゴディシティの特徴づけを、無限次元ウィーナー空間設定へと拡張している。