[論文レビュー] Some methods for the evaluation of complicated Feynman integrals

A. V. Kotikov|ArXiv.org|Dec 28, 2001

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ひとこと要約

本稿では、量子場の理論における複雑な二ループフェニマン積分を評価するための高度な解析的手法—ギーゲンバウアー多項式および微分方程式法—を提示する。特に、質量ゼロおよび質量ありのプロパゲーター図において、$φ^4$-理論における臨界指数を$\mathcal{O}(1/N^3)$で高精度に評価し、$\varepsilon$次元正則化における明示的なローラン級数展開（リーマンゼータ関数、ポリログラス、逆正弦積分を含む）を提供。数値的検証はPSLQおよびパデ近似を用いて実施。

ABSTRACT

We discuss a progress in calculations of Feynman integrals based on the Gegenbauer Polynomial Technique and the Differential Equation Method. We demonstrate the results for a class of two-point two-loop diagrams and the evaluation of most complicated part of O(1/N^3) contributions to critical exponents of ϕ^4-theory. An illustration of the results obtained with help of above methods is considered.

研究の動機と目的

• 量子場の理論における極めて非自明な二ループフェニマン積分を評価するための解析的手法を開発・適用すること。
• $\phi^4$-理論における$\mathcal{O}(1/N^3)$補正の最も複雑な部分、すなわち臨界指数への寄与を計算すること。
• 質量ゼロおよび質量ありのプロパゲーターを持つ二点および三点多重図について、$\varepsilon$次元正則化における精密なローラン展開を提供すること。
• テイラー展開およびマスターインテグラルと比較して、PSLQおよびパデ近似を用いた数値的検証により結果を検証すること。
• 三ループ図に現れる超越定数（特に3乗根の単位根に関連するもの）と結果との関係を確立すること。

提案手法

• $D$次元モーメンタム空間における正規直交多項式を用いた超球座標におけるギーゲンバウアー多項式（GP）技法を用い、プロパゲーターを展開する。
• テンソル構造をギーゲンバウアー多項式および$x^2$に依存する因子で表すためにトレースレス積形式を用いる。
• マスターリンテグラルのための連立常微分方程式を導出し、$\varepsilon$に関する級数展開により解く。
• メリン＝バーンズ表現および解析接続を用いて、$\varepsilon$に関するローラン級数の係数を抽出する。
• テイラー級数展開およびパデ近似を用いた数値的チェックにより、解析的結果を検証する。
• PSLQアルゴリズムを用いて、数値的結果に現れる超越定数（ゼータ値、ポリログラス、逆正弦積分）の組み合わせを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 質量ゼロおよび質量ありのプロパゲーターを持つ二ループ二点多重図に、ギーゲンバウアー多項式法を体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 $\phi^4$-理論における$\mathcal{O}(1/N^3)$寄与の構造は何か？ そして、それがどのように解析的に評価できるか？
• RQ3 複雑な図において、ギーゲンバウアー法と微分方程式法の結果は、精度および収束性においてどのように比較できるか？
• RQ4 二ループ積分のローラン展開において、どの超越定数（例：$\zeta(2), \zeta(3), \text{Ls}_3(2\pi/3)$）が現れるか？
• RQ5 積分の数値的評価は、六乗根の単位根におけるポリログラス関数を含む解析的構造を確認できるか？

主な発見

• マスターリンテグラル$\mathbf{V}\{\mathcal{IJKL}\}(1,1,1,1,m)$は、$\frac{1}{2\varepsilon^2} + \frac{1}{\varepsilon}\left(\frac{5}{2} - \frac{\pi}{\sqrt{3}}\right) + \frac{19}{2} + \frac{b_1}{2}\zeta(2) - 4\frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{63}{4}S_2 + \cdots + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$として評価され、$b_1 = -1$である。
• 積分$\mathbf{J}_{111}(1,1,1,m)$は、$-m^2\left(\frac{3}{2\varepsilon^2} + \frac{17}{4\varepsilon} + \frac{59}{8} + \cdots\right) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$として得られ、係数は$b_2 = -6$、$b_3 = 9/2$、$b_4 = 4$、$b_5 = 9$である。
• 積分$\mathbf{J}_{011}(1,1,2,m)$は、$\frac{1-4\varepsilon}{2(1-2\varepsilon)(1-3\varepsilon)}\left(\frac{1}{\varepsilon^2} + 2\frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{2}{3}\zeta(2) + \cdots\right) + \mathcal{O}(\varepsilon^2)$として得られる。
• 積分$\mathbf{J}_{011}(1,1,1,m)$は、$-\frac{m^2}{2}\frac{4-15\varepsilon}{(1-2\varepsilon)(1-3\varepsilon)(2-3\varepsilon)}\left(\frac{1}{\varepsilon^2} + \frac{3}{2}\frac{\pi}{\sqrt{3}} + \cdots\right) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$として表現され、$b_1 = 3$、$b_2 = 8$、$b_3 = -3/2$、$b_4 = 0$、$b_5 = 21$である。
• 積分$\mathbf{ONS11}(1,1,m)$は、$\frac{1}{1-2\varepsilon}\left(\frac{1}{\varepsilon} - \frac{\pi}{\sqrt{3}} + \varepsilon\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\ln 3 - 9S_2\right) + \cdots\right) + \mathcal{O}(\varepsilon^3)$として計算される。
• 数値的チェックにより解析的結果が確認され、PSLQにより$\zeta(2), \zeta(3), \text{Ls}_3(2\pi/3)$および$\text{Li}_3(e^{2\pi i/3})$型の定数の組み合わせが同定され、三ループにおける超越構造と整合的である。