[論文レビュー] Some natural subspaces and quotient spaces of $L^1$

Gilles Godefroy, Nicolás Lerner|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2017

Advanced Banach Space Theory参考文献 12被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点で消失するリプシッツ関数の空間 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ が、発散がゼロのベクトル場からなる部分空間 $N$ を除いた商空間 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ の双対空間に等長同型であることを確立する。商空間は弱い逐次的完備性を有するが、$N$ は「うまく配置されていない」——その単位球は局所測度収束の位相に関して閉じていない——これは $L^1$ の部分空間構造における主要な障害を示している。

ABSTRACT

We show that the space $ ext{Lip}_0(\mathbb R^n)$ is the dual space of $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ where $N$ is the subspace of $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})$ consisting of vector fields whose divergence vanishes. We prove that although the quotient space $L^{1}({\mathbb R}^{n}; {\mathbb R}^{n})/N$ is weakly sequentially complete, the subspace $N$ is not nicely placed - in other words, its unit ball is not closed for the topology $τ_m$ of local convergence in measure. We prove that if $Ω$ is a bounded open star-shaped subset of $\mathbb {R}^n$ and $X$ is a closed subspace of $L^1(Ω)$ consisting of continuous functions, then the unit ball of $X$ is compact for the compact-open topology on $Ω$. It follows in particular that such spaces $X$, when they have Grothendieck's approximation property, have unconditional finite-dimensional decompositions and are isomorphic to weak*-closed subspaces of $l^1$. Numerous examples are provided where such results apply.

研究の動機と目的

• $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ の前双対を $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ の商空間として特定すること。
• $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 内の発散がゼロのベクトル場の部分空間 $N$ が「うまく配置されている」かどうか——すなわち、その単位球が局所測度収束の位相 $\tau_m$ に関して閉じているか——を調査すること。
• $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ を有界な星型領域とするとき、$L^1(\Omega)$ の閉部分空間 $X \subset L^1(\Omega)$ で連続関数からなるもの、特に拡大作用素に関して不変であるものの構造的性質を確立すること。
• そのような部分空間がグロテンディックの近似性質を持つ場合の結果を探索し、$\ell^1$ の弱*-閉部分空間に同型であることを示すこと。

提案手法

• デ・ラームの定理と分布的意味での部分積分を用いて、$\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ を $L^\infty(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ の閉部分空間として表現し、その直交補空間が発散がゼロのベクトル場の空間 $N$ に一致することを特定する。
• $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ と $L^\infty(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ の双対性を適用し、$\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ が $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ の双対に等長同型であることを示す。
• 星型領域における拡大作用素 $T_\rho$ を用いて、$L^1(\Omega)$ の部分空間 $X \subset L^1(\Omega)$ がスケーリングに関して不変である場合の構造を分析する。
• 局所測度収束の位相 $\tau_m$ を用いて、コンパクト性および閉包性を調べ、特に、星型領域 $\Omega$ 上の同次的かつ連続的閉部分空間 $X$ の単位球が $\tau_m$-コンパクトであることを証明する。
• グロテンディックの近似性質と、同次性が無条件性を意味することを応用し、このような空間 $X$ が無条件有限次元分解を有することを導く。
• $p > 1$ の $L^p$-空間に関する既知の結果を活用し、非反射的状況下での $\tau_m$-位相の必要性を強調する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)$ 内の発散がゼロのベクトル場の部分空間 $N$ は、局所測度収束の位相 $\tau_m$ に関して「うまく配置されている」か、すなわちその単位球が $\tau_m$ に関して閉じているか。
• RQ2 商空間 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ が弱い逐次的完備性を有するとしても、$N$ がうまく配置されているとは限らない。その場合の構造的結果は何か。
• RQ3 有界な開き星型領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ を取り、$L^1(\Omega)$ の連続関数からなる閉部分空間 $X \subset L^1(\Omega)$ が拡大作用素 $T_\rho$ に関して不変であるとき、$X$ の単位球は $\tau_m$-コンパクトか。
• RQ4 そのような空間 $X$ がグロテンディックの近似性質を持つ場合、$\ell^1$ の弱*-閉部分空間に同型であるか。
• RQ5 拡大作用素の $X$ の単位球上で $\tau_m$-連続性を弱めるだけで、単位球の $\tau_m$-コンパクト性を保証できるか、それとも完全な連続性が必要か。

主な発見

• 空間 $\text{Lip}_0(\mathbb{R}^n)$ は、発散がゼロのベクトル場からなる閉部分空間 $N$ を除いた $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ の双対空間に等長同型である。
• 商空間 $L^1(\mathbb{R}^n; \mathbb{R}^n)/N$ が弱い逐次的完備性を有する一方で、部分空間 $N$ はうまく配置されていない——その単位球は局所測度収束の位相 $\tau_m$ に関して閉じていない。
• 任意の有界な開星型領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ に対して、$L^1(\Omega)$ の連続関数からなる閉部分空間 $X \subset L^1(\Omega)$ で、拡大作用素に関して不変であるものは、$\tau_m$-コンパクトな単位球を持つ。
• そのような空間 $X$ がグロテンディックの近似性質を持つ場合、$X$ は $\ell^1$ の弱*-閉部分空間に同型であり、したがって無条件有限次元分解を有する。
• ミュントツ空間 $M_1(\Lambda)$、領域 $\Omega$ 上の双調和関数の空間、トーラス上の特定のハーディー空間といった多数の古典的空間は、主定理の条件を満たし、$\ell^1$-関連空間の構造的性質を継承する。
• $p > 1$ の $L^p$-バージョンはより単純である：同様の不変性および連続性の仮定のもとで、このような部分空間はバナッハ＝マザール距離において $\ell^p$ の部分空間にいくらでも近づけるが、近似性質は必要としない。