[論文レビュー] Some new characterizations of Banach spaces containing $\ell^1$

Haskell P. Rosenthal|ArXiv.org|Oct 31, 2007

Advanced Banach Space Theory参考文献 25被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Banach空間が $\ell^1$ に同相な部分空間を含むことの新しい特徴づけを提示し、積分作用素とDunford-Pettis作用素、弱*-コンパクト集合、双対空間上の濃度条件に関する同値性を確立する。主な貢献は、$\ell^1$-部分空間の不在と作用素のコンパクト性特性および双対空間の構造的制約を結ぶ包括的な同値性の鎖を確立することであり、その応用として単射テンソル積とPe{\l}czy{\'n}skiの一般化が得られる。

ABSTRACT

Several new characterizations of Banach spaces containing a subspace isomorphic to $\ell^1$, are obtained. These are applied to the question of when $\ell^1$ embeds in the injective tensor product of two Banach spaces.

研究の動機と目的

• 本稿の目的は、既知の結果を拡張し、ばらばらな条件を統合することにより、$\ell^1$ に同相な部分空間を含むBanach空間について、包括的かつ新しい特徴づけを提供することである。
• Banach空間 $X$ が $\ell^1$ を部分空間として含まないという条件と、双対空間に関するさまざまな作用素論的および位相的性質の完全な同値性の鎖を確立することである。
• これらの特徴づけを用いて、2つのBanach空間の単射テンソル積 $X \mathop{\otimes}\limits^{\vee} Y$ に $\ell^1$ が埋め込まれる条件を特定することである。
• Jamesの定理（$\ell^1$-歪曲化に関するもの）を非可算の場合に一般化し、任意の $\varepsilon > 0$ に対して $\ell^1_{\kappa}$-部分空間が $ (1+\varepsilon) $-同相である $\ell^1_{\kappa}$ に同相であることを示すことである。

提案手法

• 任意のBanach空間 $Y$ に対して、$Y$ から $X^*$ へのすべての積分作用素がコンパクトであるという条件と、$\ell^1$ の埋め込みが成立しないという条件の同値性を確立すること。
• $\ell^1$-定理とHahn-Banachの分離定理を用いて、$\ell^1$ が埋め込まれる場合に矛盾を導く弱コーシー列を構成すること。
• $K \subset X^*$ を弱*-コンパクト集合とするとき、列 $ (\hat{x}_n) $ の点毎の集積点を分析し、それらがBaire階層および普遍可測性とどのように関連するかを明らかにすること。
• Pe{\l}czy{\'n}skiの定理およびその一般化を適用し、$X$ が $\ell^1_{\kappa}$ を含むならば、任意の $L^1$-双対 $Z$（密度 $\leq \kappa$）に対して、$X^*$ が $Z^*$ に $ (1+\varepsilon) $-同相なコピーを含むことを示すこと。
• $X$ 内の有限線形結合の族 $ (f_\alpha) $ を構成し、$\delta_\alpha$ としての下界ノルム定数の極限による議論を用いて、$\ell^1_{\kappa}$-部分空間が $ (1+\varepsilon) $-同相である $\ell^1_{\kappa}$ に同相であることを示すこと。
• $X^{**}$、$\mathcal{L}(X^*, \ell^\infty)$、$\mathcal{L}(X^*)$ の濃度制約を用いて、可分なBanach空間における $\ell^1$-部分空間の不在を特徴づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $X^*$ における作用素論的および位相的条件は、$X$ が $\ell^1$ に同相な部分空間を含まないことに同値となるか？
• RQ2 2つのBanach空間の単射テンソル積 $X \mathop{\otimes}\limits^{\vee} Y$ に $\ell^1$ が埋め込まれる条件は何か？
• RQ3 Jamesの定理（$\ell^1$-歪曲化に関するもの）は、非可算な $\ell^1_{\kappa}$-空間へと一般化可能か？
• RQ4 可分なBanach空間において、$X^{**}$、$\mathcal{L}(X^*)$ の濃度と $\ell^1$-部分空間の不在の関係は何か？
• RQ5 弱*-コンパクト集合 $K \subset X^*$ 上での列 $ \hat{x}_n(k) = k(x_n) $ の点毎の集積点は、Baire階層および普遍可測性とどのように関連するか？

主な発見

• 同値性 (1) が成立：$X$ に $\ell^1$ が同相な部分空間として埋め込まれないことは、任意の $Y$ に対して $Y$ から $X^*$ へのすべての積分作用素がコンパクトであることと同値である。
• 同値性 (11) が成立：可分な $X$ において、$X^*$ の任意の無条件族は可算であることは、$X$ が $\ell^1$ を含まないことと同値である。
• 同値性 (19) が成立：$X$ が $\ell^1$ を含まないことと、点列 $ (\hat{x}_n) $ の点毎の集積点の集合の濃度が $ 2^{\frak{c}} $ 未満であるような、弱*-コンパクトかつ同相的ノルムを保つ $K \subset X^*$ が存在することと同値である。
• 命題 17 により、$X$ が $\ell^1_{\kappa}$ に同相な部分空間を含むならば、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$X$ は $\ell^1_{\kappa}$ に $ (1+\varepsilon) $-同相な部分空間を含むことが示され、Jamesの定理が一般化される。
• 系 16 により、$X$ が $\ell^1_{\kappa}$ を含むならば、任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$X^*$ は $[C(\{0,1\}^\kappa)]^*$ に $ (1+\varepsilon) $-同相なコピーを含むことが示される。
• 定理 15 により、これは一般化される：任意の密度 $\leq \kappa$ の $L^1$-双対 $Z$ に対して、$X^*$ は $Z^*$ に $ (1+\varepsilon) $-同相なコピーを含む（任意の $\varepsilon > 0$）。