[論文レビュー] Some New Constructions of Quantum MDS Codes

Weijun Fang, Fang‐Wei Fu|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、$ℚ_{q^2}$ 上のヘルミート自己直交一般化リード・ソロモン（GRS）符号を用いて、$q$-有理量子MDS符号の6つの新しいクラスを提示する。これにより、最小距離が $$\frac{q}{2}+1$$ を超える符号が実現される。乗法的部分群およびそのコセット（ゼロを含む）から評価点を構築することで、従来の研究に比べて符号長が延長され、パラメータが向上する。

ABSTRACT

It is an important task to construct quantum maximum-distance-separable (MDS) codes with good parameters. In the present paper, we provide six new classes of q-ary quantum MDS codes by using generalized Reed-Solomon (GRS) codes and Hermitian construction. The minimum distances of our quantum MDS codes can be larger than q/2+1 Three of these six classes of quantum MDS codes have longer lengths than the ones constructed in [1] and [2], hence some of their results can be easily derived from ours via the propagation rule. Moreover, some known quantum MDS codes of specific lengths can be seen as special cases of ours and the minimum distances of some known quantum MDS codes are also improved as well.

研究の動機と目的

• 従来の知られていたものよりも大きな最小距離を有する $q$-有理量子MDS符号の新規族の構成。
• 評価点集合にゼロを組み込むことで、既存の量子MDS符号の構成を拡張すること。
• $ℚ_{q^2}^*$ の乗法的部分群およびそのコセットに基づく先行結果の一般化。
• 伝搬則を用いて、既知の量子MDS符号の長さと最小距離パラメータを改善すること。
• GRS符号とヘルミート双対性を用いた、柔軟なパラメータを有する量子MDS符号の統一的枠組みの提供。

提案手法

• 乗法的部分群 $ℚ_{q^2}^*$ 及びそのコセット（ゼロを含む）から評価点を選んで、ヘルミート自己直交GRS符号を構築する。
• 符号長 $n = r \cdot \frac{q^2 - 1}{2s}$ のパラメータを定義するため、$2s \mid (q+1)$ の条件を用いる。ここで $r = 2t + 1$。
• ヘルミート構成（補題1）を適用し、$C \subseteq C^\perp_H$ を満たす $[n,k,n-k+1]_{q^2}$ MDS符号を、$[[n,n-2k,k+1]]_q$ 量子MDS符号に変換する。
• 部分行列の行列式が非ゼロであることを確認することで、$ℚ_q^*$ 上の同次方程式系の非自明解の存在を保証する。
• 伝搬則（補題2）を用いて、長い符号から距離を小さくした短い符号を導出する。
• $m \mid (qi + j + q + 1)$ のとき、内積条件 $\langle \mathbf{a}^{qi+j}, \mathbf{v}^{q+1} \rangle = 0$（$m = \frac{q^2 - 1}{2s}$）を満たすことで、ヘルミート自己直交性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化リード・ソロモン符号を用いて、最小距離が $\frac{q}{2}+1$ より大きい $q$-有理量子MDS符号を構成可能か？
• RQ2 評価点にゼロを含めることで、既存の量子MDS符号構成をどのように拡張できるか？
• RQ3 $ℚ_{q^2}$ 上のヘルミート自己直交GRS符号の存在を保証する $r$, $s$, $q$ のパラメータ条件は何か？
• RQ4 既知の量子MDS符号は、伝搬則を用いて新規構成からどの程度導出可能か？
• RQ5 乗法的部分群のコセットを含む枠組みを一般化することで、符号長と柔軟性を向上できるか？

主な発見

• 6つの新しいクラスの $[[n,n-2k,k+1]]_q$ 量子MDS符号が構成され、$n = r \cdot \frac{q^2 - 1}{2s}$ かつ $r = 2t + 1$。ここで $2s \mid (q+1)$ かつ $1 \leq t \leq s-1$。
• 構成されたすべての符号について最小距離 $d = k+1$ は $\frac{q}{2}+1$ を超え、以前の制約 $d \leq \frac{q}{2}+1$ を上回る。
• $r \geq 4$ の場合、補題7における許容可能な最大 $k$ は Zhang と Ge [1] よりも大きくなり、より大きな最小距離の符号が得られる。
• 既知の [1]、[2]、[24] の量子MDS符号は、伝搬則を用いて本研究の構成の特殊ケースとして示される。
• 特に $r=7$, $s=4$, かつ $8 \mid (q+1)$ のとき、$[[\frac{7}{8}(q^2-1), \frac{7}{8}(q^2-1)-2k, k+1]]_q$ の符号が $1 \leq k \leq \frac{7}{8}(q+1) - 2$ の範囲で得られる。
• $(r-2) \times (r-2)$ の小行列式が非ゼロであることで、方程式系 $M\mathbf{u}^T = \mathbf{0}^T$ の非自明解の存在が保証され、ヘルミート自己直交性が確保される。