[論文レビュー] Some new developments of realization of surfaces into $R^3$

Jiaxing Hong|ArXiv.org|Apr 24, 2003

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、$ℝ^3$ への等長埋め込みに関する最近の進展を概説し、正または負の曲率をもつ表面の局所的・大域的埋め込み、および正のディスクにおける境界値問題に焦点を当てる。主な結果として、曲率および平均曲率の制約下での$C^\infty$ 等長埋め込みの存在定理が得られ、びまん点の指数による解の特徴付けが行われ、ヒルベルト＝エフィモフの定理を拡張し、長年の予想である曲率依存埋め込み可能性に関する問題を解決する。

ABSTRACT

This paper intends to give a brief survey of the developments on realization of surfaces into $ R^3$ in the last decade. As far as the local isometric embedding is concerned, some results related to the Schlaffli-Yau conjecture are reviewed. As for the realization of surfaces in the large, some developments on Weyl problem for positive curvature and an existence result for realization of complete negatively curved surfaces into $ R^3$, closely related to Hilbert-Efimov theorem, are mentioned. Besides, a few results for two kind of boundary value problems for realization of positive disks into $R^3$ are introduced.

研究の動機と目的

• 過去10年間における2次元リーマン多様体の$ℝ^3$ への等長埋め込みに関する最近の発展を概説すること。
• 特にシュラフィリ・ヤウ予想および曲率条件に関連する局所的等長埋め込み問題に取り組むこと。
• 正および負の曲率をもつ表面に対する大域的等長埋め込みを調査し、ヒルベルト＝エフィモフの定理の拡張を含むこと。
• 正のディスクの$ℝ^3$ への等長埋め込みに関する境界値問題を分析すること、特に境界上での所定の平均曲率を考慮すること。
• 境界値問題における解空間を特徴付けるために、びまん点の指数といった不変量を確立すること。

提案手法

• ガウス方程式およびダーボウ方程式$F(z) = \det(\nabla_{ij}z) - K\det(g_{ij})(1 - |\nabla z|^2) = 0$を用いて、等長埋め込み問題を一階偏微分方程式系として定式化すること。
• 非線形偏微分方程式系を解くために、収縮写像の原理および陰関数定理の技法を適用し、特に低正則性および曲率制約付きの設定において有効にすること。
• ガウス＝ヴァインガルテン方程式を用いて、第二基本形式および法曲率を埋め込みの幾何学的性質に関連させること。
• 複素数値微分形式$\sigma = (EM - FL) + i(GL - EN)$の周囲の巻き数を用いて定義される、びまん点の指数を位相的不変量として導入すること。
• 曲率および平均曲率の制約を課すことにより、特に条件$\frac{h}{\sqrt{K}} - 1 > 4\max_{\partial D}\left[\frac{H_0}{\sqrt{K}} - 1\right]$の下で、ノイマン型境界値問題の存在および一意性を確立すること。
• 対称的および一定曲率のケースを分析し、極値的可解条件を導出する。特に、半径対称ディスクにおいて$h < H_0(1)$のとき、解が存在しないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな表面が$ℝ^3$ に局所的$C^s$ 等長埋め込みをもつための曲率条件は何か？
• RQ2 $C^s$ 正則性推定を用いて、非負または非正の曲率計量に関してシュラフィリ・ヤウ予想を検証可能か？
• RQ3 完全に負の曲率をもつ表面が$ℝ^3$ に大域的$C^\infty$ 等長埋め込みをもつための必要十分条件は何か？
• RQ4 境界上の平均曲率が、正のディスクの等長埋め込み問題の解の数および位相的性質にどのように制約を加えるか？
• RQ5 びまん点の指数は、等長埋め込みの境界値問題の解を分類する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の$C^s$、$s > 10$ で非負曲率をもつ計量に対して、$ℝ^3$ への局所的$C^{s-6}$ 等長埋め込みが存在する。
• 曲率$K$ が$K(p) = 0$ かつ$dK(p) \neq 0$ を満たすとき、点$p$ の近傍で$C^{s-3}$ 局所的等長埋め込みが存在する。
• 計量が$K = h^{2q}K_1$、$K_1(p) < 0$、$dh(p) \neq 0$、$q$ を整数として満たすとき、$ℝ^3$ に局所的$C^s$ 等長埋め込みが存在する。
• 正のディスクに対するノイマン問題$N$ は、条件$\frac{h}{\sqrt{K}} - 1 > 4\max_{\partial D}\left[\frac{H_0}{\sqrt{K}} - 1\right]$ の下で、びまん点の指数$n$ が所定のものである$C^\infty$ 解をちょうど2つもつ。
• 一定曲率の場合、$h > \sqrt{K}$ ならば、任意の非負整数$n$ および$∂ D$ 上の1点$p_0$ と$D$ 内の$n$ 個の相異なる点$p_1, \dots, p_n$ に対して、問題$N$ は可解であり、$p_0$ で1つの主方向が$∂ D$ に接する。
• 半径対称な正のディスクにおいて$H_0(1) > \sqrt{K(1)}$ ならば、$h < H_0(1)$ のとき、$C^2$ 解は存在しない。これは、$h > \sqrt{K(1)}$ であっても成り立つため、解の存在の鋭い閾値を示している。