[論文レビュー] Some New Exact van der Waerden Numbers

Bruce Landman, Aaron Robertson+1 more|ArXiv.org|Jul 1, 2005

Mathematics and Applications参考文献 6被引用数 26

ひとこと要約

本稿では、$w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$ の新しい正確値を提示する。ここで、目的は、$[1,n]$ の任意の $r$-彩色が色 $i$ において単色の $k_i$ 項等差数列を含むような最小の $n$ を見つけることである。$k$ が $r$ に対して十分に大きい場合、$w(k,2,2,\dots,2;r)$ の明確な公式を導入し、既知の値を大幅に拡張するとともに、極値彩色の構造的洞察を提供する。

ABSTRACT

For positive integers $r,k_0,k_1,...,k_{r-1},$ the van der Waerden number $w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$ is the least positive integer $n$ such that whenever $\{1,2,...,n\}$ is partitioned into $r$ sets $S_{0},S_{1},...,S_{r-1}$, there is some $i$ so that $S_i$ contains a $k_i$-term arithmetic progression. We find several new exact values of $w(k_0,k_1,...,k_{r-1})$. In addition, for the situation in which only one value of $k_i$ differs from 2, we give a precise formula for the van der Waerden function (provided this one value of $k_i$ is not too small)

研究の動機と目的

• 既に発表済みの値を超えて、混合ヴァン・ダール・ワーデン数 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$ の表を拡張すること。
• 各色クラスにおいて単色の $k_i$ 項等差数列を避ける極値 $r$-彩色の構造を調査すること。
• すべての $k_i$ が 2 で、唯一の例外として $k_i = k$ である場合に、$k$ が $r$ に対して十分に大きいときの $w(k,2,2,\dots,2;r)$ に対する閉形式の公式を導出すること。これは、$k_i$ のうち一つを除きすべてが 2 である場合の一般解を提供する。
• 長大な単色等差数列の形成を防ぐ区間分割と彩色パターンにおける組合せ的制約を分析すること。

提案手法

• 著者らは、『クループット』アルゴリズムの変種に加え、バックトラッキングその他の探索技法を用いて、新しい正確なヴァン・ダール・ワーデン数を計算した。
• 色 $i$ において単色の $k_i$ 項等差数列を含まない $[1,n-1]$ の最大長の $r$-彩色を、有効な彩色とみなして分析した。
• この手法では、連続する臨界点 $y_i$ の間の区間 $B_i$ を定義し、$\alpha_i = |B_i|$ としてその長さを分析した。
• 特に、モジュロ算術とヤコブスティャール関数の性質を用いた数論的制約を適用し、長大な単色等差数列の存在を除外した。
• 公式の導出には、差分 $y_{i+1} - y_i$ を小さな整数 $t$ でモジュロ演算したときの合同パターンに基づく構造的議論を用い、特定の合同パターンが避けがたい単色数列を生じることを示した。
• ジュラットとリヒャートの結果（最初の $\pi(r)$ 個の素数で割り切れる整数の間隔の最大値に関するもの）を用いて境界を確立し、$j$ の成長を制御するための漸近的推定を適用した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 少なくとも二つの $k_i > 2$ である場合に、既に知られている値を超えて、混合ヴァン・ダール・ワーデン数 $w(k_0, k_1, \dots, k_{r-1})$ の正確な値は何か？
• RQ2 $k$ が $r$ に対して十分に大きいとき、$w(k,2,2,\dots,2;r)$ に対する一般公式を導出できるか？
• RQ3 単色の $k_i$ 項等差数列を各色クラスで避ける $[1,n-1]$ の最大 $r$-彩色の構造的性質は何か？
• RQ4 連続する色変更点 $y_i$ 間の差分におけるモジュロ制約は、単色等差数列の存在にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿では、$w(11,3) = 114$、$w(12,3) = 135$、$w(13,3) = 160$ を確立し、$k \geq 11$ の $w(k,3)$ の既知の値を拡張した。
• また、$w(3,4,4,3) = 89$、$w(3,5,3,3) = 80$、$w(3,6,4,2) = 83$ を証明し、複数の $k_i > 2$ を含む混合色ケースにおける新しい正確値を提供した。
• $w(k,2,2,\dots,2;r)$ に関して、正確な公式を導出した：$k \geq 2r - 3$ かつ特定の $k$ に関するモジュロ条件を満たす場合、$w(k,2,\dots,2;r) = kr - r + 2$ が成り立つ。
• $k \geq \pi(r)^3(r-2)$ の場合、ヤコブスティャール関数の境界と素因数の分布に基づき、公式 $w(k,2,\dots,2;r) = kr - r + 2$ が成立することが示された。
• 最大有効彩色の長さ $w-1$ において、導出された条件のもとで、最初と最後の色ブロックの長さ $\alpha_i$ は正確に $k-1$ であり、内部ブロックは $k-j-1$ であることが示された。
• 本稿では、主公式の条件の逆が成り立つことを確認した：$k$ が $\#r$ で定義されるモジュロ条件を満たす場合、公式が適用可能であり、これらの条件は公式が正しい値を返すために必要かつ十分である。