[論文レビュー] Some new examples with quasi-positive curvature

Martin Kerin|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般化されたエスケンブルグ空間と S⁷×S⁷ の商を用いて、非負曲率で、かつすべての2次元平面が正のセクション曲率を持つ点をもつ、すなわち擬正曲率をもつ、単連結な多様体の新しい例を構成する。主な結果として、特定の共型次数1多様体にこのような計量が存在することを確立し、この曲率性質を持つ既知の例の数少ないリストを拡張する。

ABSTRACT

Abstract. As a means to better understanding manifolds with positive curvature, there has been much recent interest in the study of nonnegatively curved manifolds which contain a point at which all 2-planes have positive curvature. We show that there are generalisations of the well-known Eschenburg spaces together with quotients of S 7 ×S 7 which admit metrics with this property. It is an unfortunate fact that for a simply connected manifold which admits a metric of non-negative curvature there are no known obstructions to admitting positive curvature. While there exist many examples of manifolds with non-negative curvature, the known examples with positive curvature are very sparse (see [Zi] for a comprehensive survey of both situations). Other than the rank-one symmetric spaces there are isolated examples in dimensions 6,7,12,13 and 24 due to Wallach [Wa] and Berger [Ber], and two infinite families, one in dimension 7 (Eschenburg spaces; see [AW], [E1], [E2]) and the other in dimension 13 (Bazaikin spaces; see [Ba]). In recent developments, two distinct metrics with positive curvature on a particular cohomogeneity-one manifold have been proposed ([GVZ], [D]), while in [PW2] the authors propose that the Gromoll-Meyer exotic 7-sphere admits positive curvature, which would be the first exotic sphere known to exhibit this property. In this paper we are interested in the study of manifolds which lie “between” those with non-negative and those with positive sectional curvature. It is hoped that the study of such manifolds will yield a better understanding of the differences between these two classes. Recall that a Riemannian manifold (M, 〈 , 〉) is said to have quasi-positive curvature (resp. almost positive curvature) if (M, 〈 , 〉) has non-negative sectional curvature and there is a point (resp. an open dense set of points) at which all 2-planes have positive sectional curvature. Our main result is: Theorem A. (i) Let Lp,q ⊂ U(n + 1) × U(n + 1), n ≥ 2, be defined by

研究の動機と目的

• 非負曲率と正曲率の間のクラスである、擬正曲率をもつ多様体の新しい例を同定および構成すること。
• ランク1の対称空間と個別例にとどまらない、正曲率または擬正曲率をもつ多様体の既知の族を拡張すること。
• 擬正曲率の性質をもつ共型次数1多様体の幾何学的・位相的構造を調査すること。
• 正曲率の障害が特定の幾何的構成において克服可能であるという証拠を提供すること。
• リーマン多様体における非負曲率と正曲率の違いを理解することに貢献すること。

提案手法

• n ≥ 2 に対して、U(n+1) × U(n+1) の新しい部分群 Lp,q ⊂ を定義することにより、エスケンブルグ空間の構成を一般化する。
• 共型次数1構造と不変計量を用いて、得られた商多様体の曲率性質を分析する。
• 既知の擬正曲率の基準を適用し、特にすべての2次元平面が正のセクション曲率をもつ点の存在に注目する。
• 特定の群作用による S⁷ × S⁷ の商の幾何学を研究し、擬正曲率をもつ計量を同定する。
• 表現論とリー群構造を用いて、構成された多様体にこのような計量が存在することを検証する。
• 非負曲率が特定の商において保存されることを活用し、特定の点での曲率を分析して擬正曲率の確認を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既知の個別例を超えて、擬正曲率をもつ多様体の新しい例を構成できるか？
• RQ2 一般化されたエスケンブルグ型空間および S⁷ × S⁷ の商は、擬正曲率をもつ計量をもつか？
• RQ3 非負曲率多様体が、すべての2次元平面が正の曲率をもつ点をもつために必要な幾何学的または群論的条件は何か？
• RQ4 これらの新しい例は、単連結多様体における非負曲率と正曲率の構造的差異をどのように明確にするか？
• RQ5 エスケンブルグ空間の構成技法を、無限族の擬正曲率をもつ多様体を生成するために拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、一般化されたエスケンブルグ空間と S⁷×S⁷ の商を用いて、単連結多様体に擬正曲率をもつ新しい例を構成する。
• Lp,q ⊂ U(n+1) × U(n+1) の群作用から生じる特定の共型次数1多様体が、擬正曲率をもつ計量をもつことを証明する。
• 曲率テンソルの特定の点における幾何学的解析を通じて、すべての2次元平面が正のセクション曲率をもつ点の存在が確認される。
• 構成法により、次元6, 7, 12, 13, 24で既知の族を拡張する、擬正曲率をもつ多様体を体系的に生成する方法が得られる。
• 結果から、正曲率の障害が特定の幾何的状況、特に共型次数1多様体において克服可能である可能性が示唆される。
• 本研究は、非負曲率のものよりは制約が厳しく、正曲率のものよりは制限が少ないクラスの多様体を同定することで、曲率ギャップの理解を広げる。