[論文レビュー] Some New Generalized Results on Ostrowski Type Integral Inequalities With Application

Ather Qayyum, Muhammad Shoaib+1 more|arXiv (Cornell University)|May 6, 2015

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 9被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、CeroneとDragomirの結果を拡張するために、新しいカーネルを導入することで、一般化されたオストロフスキー型積分不等式を提示する。関数が部分区間上の重み付き積分平均の組み合わせから逸脱する際の境界を導出し、導関数の $ L_p $-ノルムを用いた鋭い推定値を提供する。これらの結果は、信頼性理論における累積分布関数に適用可能である。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish some new inequalities similar to the Ostrowski's inequalities which are more generalized than the inequalities of Dragomir and Cerone. The current article obtains bounds for the deviation of a function from a combination of integral means over the end intervals covering the entire interval. Some new purterbed results are obtained. Application for cumulative distribution function is also discussed.

研究の動機と目的

• 新しいカーネル関数の導入により、既存のオストロフスキー型およびオストロフスキー・グラース型不等式を一般化すること。
• 関数が部分区間上での積分平均の重み付き平均から逸脱する際の、より緊密な境界を導出すること。
• CeroneとDragomirの結果を、高階導関数および $ L_p $-ノルムにまで拡張すること。
• 累積分布関数を用いた信頼性理論への応用を提供すること。
• $ f'' \in L_p[a,b] $、$ p = 1, \infty, \text{ および } p > 1 $ の場合に、誤差境界における鋭い定数を確立すること。

提案手法

• パラメータ $ \alpha, \beta, h $ を用いて、$[a,x]$ および $[x,b]$ 上で区分的に定義される新しいペアノ型カーネル $ p(x,t) $ を導入する。
• カーネルを用いた部分積分により、逸脱関数 functional $ \tau(x;\alpha,\beta) $ を $ f' $ および $ f'' $ の項で表現する。
• ホルダーの不等式を適用し、得られた積分を $ \|f''\|_p $（$ p = 1, \infty, \text{ および } p > 1 $）の項で上界で抑え込む。
• $ \|f''\|_\infty $、$ \|f''\|_p $、$ \|f''\|_1 $ を含む誤差境界を導出し、それぞれのケースに対して明示的な式を提示する。
• 結果を累積分布関数 $ F(x) $ に適用し、期待値および信頼性理論における関係を明らかにする。
• $ \beta = 0 $ の特別な場合を検討し、既知の不等式を再現し、一般枠組みの妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 部分区間上での積分平均の重み付き組み合わせを含む、オストロフスキー型不等式はどのように一般化可能か？
• RQ2 関数が積分平均の重み付き平均から逸脱する際の最適な境界は、$ \|f''\|_p $ の観点からどのように得られるか？
• RQ3 $ f'' \in L_p[a,b] $、$ p = 1, \infty, \text{ および } p > 1 $ の場合に、誤差境界における鋭い定数を導出可能か？
• RQ4 新しい不等式は、信頼性理論における累積分布関数にどのように応用可能か？
• RQ5 新しいカーネルは、既存のオストロフスキー型結果の鋭さと一般性をどのように向上させるか？

主な発見

• 本稿では、$ \|f'\|_\infty $、$ \|f'\|_p $、$ \|f'\|_1 $ を用いた $ \left| \tau(x;\alpha,\beta) \right| $ の新しい不等式を確立し、Ceroneの結果を一般化する。
• $ f'' \in L_\infty[a,b] $ の場合、境界は $ \left[ (b-x)\left(\left[x - (a + h\frac{b-a}{2})\right]^3 + (h\frac{b-a}{2})^3\right) - (x-a)\left( (h\frac{b-a}{2})^3 + \left[x - (b - h\frac{b-a}{2})\right]^3 \right) \right] \frac{\|f''\|_\infty}{12} $ に等しい。
• $ f'' \in L_p[a,b] $、$ p > 1 $ の場合、境界にはホルダー型の項が含まれる：$ \left[ \frac{1}{(x-a)^q} \left( \cdots \right)^{2q+1} + \frac{1}{(b-x)^q} \left( \cdots \right)^{2q+1} \right]^{1/q} \frac{(b-x)(x-a)}{4(2q+1)^{1/q}} \|f''\|_p $。
• $ f'' \in L_1[a,b] $ の場合、境界は $ \|f''\|_1 $ を含む絶対値および線形項の和として表現され、明示的な係数が与えられる。
• $ \beta = 0 $ の特別な場合に、既知の不等式が再現され、新しい導出法により一貫性が確認される。
• 結果は累積分布関数 $ F(x) $ に適用され、$ F(x) $ が $ f(x) $、$ f'(x) $、および $ f'(a), f'(b) $ を用いて近似可能であり、誤差境界が $ \|f''\|_p $ の形で与えられることが示された。