[論文レビュー] Some new near-normal sequences

Dragomir Ž. Djoković|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2009

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、n = 32およびn = 34における準正規列の存在を確立し、これらの偶数値についてヤンの予想を裏付ける。全数探索を用いて、n = 32では8つのNN同値類を分類し、n = 34では2つの同値でないクラスを構成した。一方、NS(31)およびNS(33)が空であることを証明し、63および67がヤン数でないことを示した。また、69は新たなヤン数である。

ABSTRACT

The normal sequences NS(n) and near-normal sequences NN(n) play an important role in the construction of orthogonal designs and Hadamard matrices. They can be identified with certain base sequences (A;B;C;D), where A and B have length n+1 and C and D length n. C.H. Yang conjectured that near-normal sequences exist for all even n. While this has been confirmed for n not exceeding 30, so far nothing else was known for larger n. We show that NN(32) consists of 8 equivalence classes and we exhibit their representatives. We also construct representatives for two equivalence classes of NN(34). On the other hand our exhaustive computer searches show that NS(31) and NS(33) are void.

研究の動機と目的

• n > 30の偶数nについて、準正規列（NN(n)）の存在を調査し、n=30までの先行結果を拡張すること。
• C.H. ヤンの予想（すべての偶数nについてNN(n)が空でない）を確認または反証すること。
• 奇数nについて正規列（NS(n)）が存在するかどうかを特定すること、特に63、67、69のヤン数としての状態を特定する上で重要なn=31およびn=33について検討すること。
• NN(32)の構造を分類し、NN同値関係の下で計算的列挙を用いてNN(34)の代表元を構成すること。
• NS(n)およびNN(n)の非空性を分析することにより、新たなヤン数を確立し、ハダマール行列構成への影響を示すこと。

提案手法

• n=32およびn=34について、NN同値関係の下でNN(n)に属するすべての準正規列を全数探索で列挙した。
• n=32およびn=34について、先行研究[2]と同一のアルゴリズムを用い、norm条件N(A)+N(B)+N(C)+N(D)=2(2n+1)を満たす基本列を生成・検証した。
• 候補列が準正規条件（1 ≤ i ≤ nについてb_i = (-1)^{i-1} a_i）を満たすことを検証した。
• 効率的な保存および比較のため、詳細は先行研究[2,3]に記載された形式で、列を圧縮符号化形式で表現した。
• 有効な基本列からハダマール行列を生成するために、ゴエタールス–サイデル配列構成法を適用した。
• ヤン数の定義（NS(s)またはNN(s)が非空であるような奇数2s+1）を用い、63、67、69の状態を推論した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 n=32およびn=34について、ヤンの予想がn=30を越えて成り立つか、準正規列の存在が成立するか？
• RQ2 n=31およびn=33について正規列が存在するか？ これは63、67、69がヤン数としての位置づけにどのような意味を持つのか？
• RQ3 NN(32)には何個のNN同値類が存在するか？ それらの構造的性質は何か？
• RQ4 n=34について、新たな同値でない準正規列を構成できるか？ 既知のクラスと比較してどう異なるか？
• RQ5 これらの発見は、ヤン乗算およびウィリアムソン型行列を用いたハダマール行列構成にどのような影響を与えるか？

主な発見

• NN(32)は正確に8つのNN同値類から構成され、代表元が明示的に構成され、符号化された。
• n=34について、2つの同値でない準正規列が構成されたが、完全な分類は未完である。
• NS(31)およびNS(33)は、全数探索により両方とも空であることが確認された。
• 63および67はヤン数でない。なぜなら、NS(31)およびNS(33)がいずれも非空ではないからである。
• 69は新たなヤン数である。なぜなら、NN(34)が非空であり、ヤン乗算を用いて無限に多くの新しいハダマール行列を構成できるからである。
• 本研究の結果により、ヤンの予想がn=32およびn=34について確認された。これにより、準正規列が存在する偶数nの範囲が拡張された。