[論文レビュー] Some new problems in additive combinatorics

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、アーベル群の元の順列および巡回順列に中心を置いた加法的組合せ論における新しい問題を提示し、調査している。特に、隣接する和または差がすべて相異なるようにすることを目的としている。奇素数冪 $ q = 2n+1 > 13 $、$ q \neq 25 $ に対して、$ \mathbb{F}_q $ の非ゼロ平方剰余の巡回順列が存在し、隣接する和（または差）がこれらの剰余の完全な集合を形成することを証明している。また、捩れのないアーベル群および整数列に対しても同様の結果を確立している。

ABSTRACT

In this paper we investigate some new problems in additive combinatorics. Our problems mainly involve permutations (or circular permutations) $n$ distinct numbers (or elements of an additive abelian group) $a_1,\ldots,a_n$ with adjacent sums $a_i+a_{i+1}$ (or differences $a_i-a_{i+1}$) pairwise distinct. For an odd prime power $q=2n+1>13$ with $q ot=25$, we show that there is a circular permutation $(a_1,\ldots,a_n)$ of the elements of $S=\{a^2:\ a\in\mathbb F_q\setminus\{0\}\}$ such that $\{a_1+a_2,\ldots,a_{n-1}+a_n,a_n+a_1\}=S$, where $\mathbb F_q$ denotes the field of order $q$. For any finite subset $A$ of an additive torsion-free abelian group $G$ with $|A|=n>3$, we prove that there is a numbering $a_1,\ldots,a_n$ of the elements of $A$ such that $$a_1+2a_2,\ a_2+2a_3,\ \ldots,\ a_{n-1}+2a_n,\ a_n+2a_1$$ are pairwise distinct. We also pose 30 open conjectures for further research.

研究の動機と目的

• 隣接する和または差が相異なるような順列問題の新しいクラスを加法的組合せ論において探求すること。
• 有限体における平方剰余の巡回順列が、隣接する和または差もまた平方剰余となるような存在を調査すること。
• 一般の捩れのないアーベル群への相異なる隣接差および和の結果の拡張。
• 整除性、素数分布、算術関数に関する30の未解決予想を提示し、それを裏付けること。

提案手法

• 有限体および捩れのないアーベル群において、構成的および組合せ的議論を用いて存在定理を証明すること。
• 奇素数冪 $ q = 2n+1 $ に対して、$ \mathbb{F}_q $ の構造と平方剰余の性質を用いること。
• 戦略的な再順序付けによって、隣接する和または差の相異なる性質を保つ順列構成を適用すること。
• 群論的および数論的道具、特にオイラーのトーティエント関数と組合せ的ノルンシュタインの定理を活用すること。
• 計算による予想の検証およびOEISの数列を用いた支援データの提供。
• 特に小さな $ n $ に対して数学的帰納法と場合分けを用い、一般の $ n > 3 $ へと拡張すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 奇素数冪 $ q = 2n+1 > 13 $、$ q \neq 25 $ に対して、非ゼロ平方剰余の巡回順列が存在し、すべての隣接和が相違し、かつこれらの剰余の完全な集合を形成するか？
• RQ2 捩れのないアーベル群における $ n $ 個の相異なる要素の巡回順列を、$ a_i + 2a_{i+1} $ の値がすべて相異なるように構成可能か？
• RQ3 任意の捩れのないアーベル群の有限部分集合 $ A $ に対して、$ a_i + 2a_{i+1} $ がすべて相異なる番号付けが可能か？
• RQ4 最初と最後が2である最初の $ n $ 個の素数の巡回順列を、隣接する絶対差がすべて相異なるように構成可能か？
• RQ5 素数 $ p = 2n+1 $ における平方剰余の順列が、隣接する差または和もまた平方剰余となるようなものが存在するか？

主な発見

• 任意の奇素数冪 $ q = 2n+1 > 13 $、$ q \neq 25 $ に対して、$ \mathbb{F}_q $ の $ n $ 個の非ゼロ平方剰余の巡回順列が存在し、隣接和の集合 $ \{b_1 + b_2, \dots, b_n + b_1\} $ が平方剰余の完全な集合 $ S $ に一致する。
• 任意の $ n > 3 $ に対して、$ i_0 = 0 $、$ i_n = n $ を満たす $ 0, \dots, n $ の巡回順列が存在し、すべての $ n+1 $ 個の隣接差 $ i_j - i_{j+1} $ が相異なる。
• 任意の捩れのないアーベル群において、$ n > 3 $ に対して、$ n $ 個の相異なる要素の巡回順列が存在し、$ b_i + 2b_{i+1} $ の値がすべて相異なる。
• 任意の捩れのないアーベル群の有限部分集合 $ A $ に対して $ |A| = n > 3 $ ならば、$ a_1, \dots, a_n $ の番号付けが存在し、$ a_i + 2a_{i+1} $ がすべて相異なる。
• 論文は、アロンとバーガンの予想を確認した。この予想は、素数 $ p $ における平方剰余の巡回順列が、隣接する差または和もまた平方剰余となるようなものがある、という内容であるが、やや弱い条件下で成立する。
• 論文は、カタラン数の整除性、オイラーのトーティエント関数、および約数関数に関連する30の未解決予想を提示した。これらはすべて、$ m+n \mid f(m,n) $ の形の合同式の解の存在に関連している。