[論文レビュー] Some new regularity criteria for the 3D Navier-Stokes Equations

Daoyuan Fang, Chenyin Qian|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2012

Navier-Stokes equation solutions参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、速度場の第三成分 $ u_3 $ 及びその微分にのみ依存する手法を用いて、3次元ナビエ＝ストークス方程式のレーリー＝ホプフ弱解の新たな正則性基準を確立する。$ u_3 $ 及び $ \nabla u_3 $ の $ L^q $、$ L^{\beta} $、$ L^{\beta_2} $ ノルムに依存するパラメータ付きの条件を導入し、プローディ＝セリーン条件を越える改善された可積分性閾値を用いて、臨界的ルベーグ空間における $ \nabla u_3 $ の組み込みを含む、グローバル正則性を証明する。

ABSTRACT

Several types of new regularity criteria for Leray-Hopf weak solutions $u$ to the 3D Navier-Stokes equations are obtained. Some of them are based on the third component $u_3$ of velocity under Prodi-Serrin index condition, another type is in terms of $ω_3$ and $\partial_3u_3$ with Prodi-Serrin index condition. And a very recent work of the authors, based on only one of the nine entries of the gradient tensor, is renovated.

研究の動機と目的

• 3次元ナビエ＝ストークス方程式のレーリー＝ホプフ弱解が正則（滑らかで一意的）であるための新たな十分条件を確立すること。
• 正則性要件を全速度場から第三成分 $ u_3 $ のみにまで低減しつつ、可積分性閾値を維持または向上させること。
• $ \partial_3 u_3 $ を正則性基準に組み込むことで、従来の成分別基準を上回る鋭い結果を得ること。
• 最近の結果を一般化し、既知の正則性閾値の間を補間する $ \epsilon $-依存可積分条件を導入すること。
• 単一の勾配テンソル成分に基づく以前の基準を洗練・刷新し、許容可能な可積分指数の範囲を拡大すること。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式の弱形式においてエネルギー法と部分積分を用いて、$ \nabla u $ の $ L^2 $ ノルムに対する事前推定を導出する。
• ホルダーの不等式および補間技術を適用し、$ u_3 $ 及び $ \partial_3 u_3 $ を含む非線形項を $ L^q $、$ L^{\alpha} $、$ L^{\beta} $ ノルムで評価する。
• 非線形項の成長を制御し、時間的・空間的可積分性を保証するため、指数 $ q, \sigma, r $（および $ \mu, \alpha_2, \beta_2 $）のパラメータ族を導入する。
• グローバル不等式を用いて $ \|\nabla u\|_{L^2}^2 $ の時間発展を制御し、$ \|\partial_3 u_3\|_{L^{\alpha_2}}^{8/(3(r-2))} $ 及び関連ノルムの可積分性に依存する。
• $ \frac{3}{\alpha_2} + \frac{3r-6}{4} = 2 - \epsilon $ のような条件を課すことにより、$ \partial_3 u_3 $ の指数が下臨界的かつ可積分になるように保証する。
• 先行研究（例：[7], [5], [26]）の技術を発展させ、非等方的ルベーグ空間および埋め込み不等式のより洗練された使用法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 プローディ＝セリーン条件を満たさない場合でも、$ u_3 $ のみを用いて3次元ナビエ＝ストークス解の正則性を保証できるか？
• RQ2 $ u_3 $ がプローディ＝セリーンインデックスを満たさない場合に、$ \partial_3 u_3 $ あるいはそのノルムに追加で何の条件が必要か？
• RQ3 $ \epsilon $-依存可積分条件をどのように構築すれば、既知の正則性閾値の間を補間し、許容可能な指数の範囲を拡大できるか？
• RQ4 勾配テンソル $ \nabla u $ の一つの成分、例えば $ \partial_3 u_3 $ のみを考慮することで、正則性基準を洗練できるか？
• RQ5 $ u_3 $ と $ \partial_3 u_3 $ の可積分性の最適なバランスは何か？ これが弱解のグローバル正則性を保証するか？

主な発見

• 本稿では、$ \frac{2}{t} + \frac{3}{s} \leq \frac{5}{8} $ を満たすが $ u_3 \notin L^t(0,T;L^s) $ である場合でも、$ \partial_3 u_3 \in L^{\beta_2}(0,T;L^{\alpha_2}) $ かつ $ \frac{3}{\alpha_2} + \frac{3r-6}{4} = 2 - \epsilon $、$ \epsilon \in (0, \frac{1}{2}] $ の条件下で正則性が保証されることを確立した。
• $ \epsilon = \frac{1}{2} $ の場合、結果は [7] の定理 1.8 を回復・改良し、$ \frac{3}{\alpha_2} + \frac{3r-6}{4} = \frac{3}{2} $ の下で $ \partial_3 u_3 \in L^{\beta_2}(0,T;L^{\alpha_2}) $ が正則性を示すことを示した。
• $ u_3 $ と $ \partial_3 u_3 $ がそれぞれ $ L^q(0,T;L^q) $ 及び $ L^{\beta_2}(0,T;L^{\alpha_2}) $ に属する場合に新たな基準を証明した。条件は $ \frac{8}{3(r-2)} > \frac{2\mu}{3 - \mu} $ を満たし、$ \partial_3 u_3 $ の指数が可積分であることを保証する。
• 著者らは、$ \|\partial_3 u_3\|_{L^{\alpha_2}}^{8/(3(r-2))} \in L^1(0,T) $ が保証される $ \epsilon $-依存条件のもとで、グローバル不等式により $ \|\nabla u\|_{L^2}^2 $ が時間的に有界であることを示した。
• Cao と Titi、Zhou と Pokorný の以前の結果を改善し、正則性を保証するための $ u_3 $ の関数空間を、以前に要求されたものよりも厳密に大きな空間にまで拡大した。
• 本手法により、プローディ＝セリーン条件を $ \nabla u_3 $ を組み込むことで拡張し、$ u_3 $ がプローディ＝セリーンインデックスを満たさない場合でも、その勾配が正則性を回復させることを示した。