[論文レビュー] Some new simple modular Lie superalgebras

Alberto Elduque|ArXiv.org|Dec 30, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿では、特性3および5において、偶数部が直交Lie代数で、奇数部がそのスピンモジュラーである2つの新しい単純なモジュラーLie超代数を構成する。ティツの構成法と例外的Jordan超代数への関連を用いて、これらの代数の存在と一意性を証明し、特性5の場合には10次元の例外的Kac Jordan超代数と関連している。

ABSTRACT

Two new simple modular Lie superalgebras are obtained in characteristics 3 and 5, which share the property that their even parts are orthogonal Lie algebras and the odd parts their spin modules. The characteristic 5 case is shown to be related, by means of a construction of Tits, to the exceptional ten dimensional Jordan superalgebra of Kac.

研究の動機と目的

• 偶数部が型Bの直交Lie代数で、奇数部がそのスピンモジュラーであるZ2-次数付き単純Lie代数およびLie超代数を分類すること。
• 特性3における既知の例（so(9)、so(7)、so(12)など）以外に、このようなLie超代数が存在するかどうかを特定すること。
• 特性5における新しいLie超代数とKacの10次元例外的Jordan超代数との間の関係を、ティツの構成法を用いて確立すること。
• 特に特性3において、合成超代数とフラウエンダール三重系が、このようなLie超代数の構成に果たす役割を調査すること。
• 特性3における拡張されたフラウエンダールの魔方陣の基礎を築くこと。これにより、6次元の合成超代数B(4,2)と関連付ける。

提案手法

• Cayley代数と例外的Jordan超代数からLie超代数を構成するティツの構成法を用い、特性5における10次元Kac Jordan超代数に適用する。
• クリフォード代数の技法とスピンモジュラー表現を用いて、so(M,Q)の奇数部への作用をスピン表現として実現する。
• 特にΨ: Cl(V⊕V*,q) → Cl₀(W,q)のようなクリフォード代数とその偶数部の間の同型を用いて、Lie代数構造とスピンモジュラーを関連付ける。
• ティツの構成法と表現論を用いて、構成されたLie超代数の偶数部を特性5ではso(11)、特性3ではso(13)と特定する。
• ティツ代数T(C,J)におけるσₐ,ᵤ₁⊗ᵤ₂^Q要素の作用を用いてLie括弧を定義し、スピン表現構造を検証する。
• Φ₀: T(C,J)₀ → so(M,Q)とΦ₁: T(C,J)₁ → C⊗(U⊕U)の同型を用いて、Lie超代数構造を行列表現に翻訳する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶数部が直交Lie代数で、奇数部がそのスピンモジュラーであるような、新しい単純Lie超代数が、モジュラー特性において存在するか？
• RQ2 Kacの10次元例外的Jordan超代数にティツの構成法を適用することで、特性5における新しい単純Lie超代数が得られるか？
• RQ3 特性3における新しいLie超代数（偶数部がso(13)）と合成超代数B(4,2)との構造的関係は何か？
• RQ4 Cayley代数とKacのJordan超代数を含むティツの構成法から、so(11)のスピン表現が自然にどのように生じるか？
• RQ5 特性3および5における新しいLie超代数を含む、モジュラー版のフラウエンダールの魔方陣は存在するか？

主な発見

• 2つの新しい単純なモジュラーLie超代数が構成された：特性3では偶数部がso(13)に同型であり、特性5では偶数部がso(11)に同型である。
• 特性5のLie超代数は、Cayley代数とKacの10次元例外的Jordan超代数を用いたティツの構成法によって得られた。
• 特性5のLie超代数の奇数部は、so(11)のスピンモジュラーに同型であり、偶数部の奇数部への作用は正確にスピン表現である。
• 特性3のLie超代数（偶数部がso(13)）は6次元の合成超代数B(4,2)と関連しており、拡張されたフラウエンダールの魔方陣において今後さらに研究される予定である。
• 本稿では、CがCayley代数でJが10次元の例外的Jordan超代数であるとき、Lie超代数がT(C, J)に同型であることが確認された。
• 偶数部がso(n)で奇数部がそのスピンモジュラーであるような単純Lie超代数は、既知のものとこの2つの新しいものに限られ、このクラスにおける分類が完全に完了した。