[論文レビュー] Some new surfaces with $p_g = q = 0$

Ingrid Bauer, Fabrizio Catanese|ERef Bayreuth (University of Bayreuth)|Oct 10, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 33

ひとこと要約

この論文は、$p_g = q = 0$ を満たす代数的表面の、$G$ が有限アーベル群であるような、曲線の高次積への同型（isogenous）分類に焦点を当てている。この表面に対して、群 $G$ は、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4$、$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$、または $(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$ のいずれかに限られ、$G = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$ の場合、基本群の違いのみで区別される2つの剛性があり、互いに同型でない表面が得られることを示している。

ABSTRACT

Motivated by a question by D. Mumford : can a computer classify all surfaces with $p_g = 0$ ? we try to show the complexity of the problem. We restrict it to the classification of the minimal surfaces of general type with $p_g = 0, K^2 = 8$ which are constructed by the Beauville construction, namely, which are quotients of a product of curves by the free action of a finite group G acting separately on each component. We think that man and computer will soon solve this classification problem. In the paper we classify completely the 5 cases where the group G is abelian. For these surfaces, we describe the moduli space (sometimes it is just a real point), and the first homology group. We describe also 5 examples where the group G is non abelian. Three of the latter examples had been previously described by R. Pardini.

研究の動機と目的

• 曲線 $C_1, C_2$ の genus が $\geq 2$ で、$G$ が自由に作用する有限アーベル群であるような、$p_g = q = 0$ を満たす滑らかな代数的表面 $S = (C_1 \times C_2)/G$ を分類すること。
• このような表面を $p_g = q = 0$ に与えることのできる有限アーベル群 $G$ を特定し、それに対応するモジュライ成分を記述すること。
• ねじれ群 $T(S) = H_1(S, \mathbb{Z})$ を解析し、特に剛性を持つ表面の場合に $G$ と比較すること。
• 非アーベル群 $\mathfrak{A}_5$、$\mathfrak{D}_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathfrak{S}_4$ を用いた、アーベルの場合を越えた、$p_g = q = 0$ を満たす表面の新しい例を構成すること。

提案手法

• 曲線の積への群作用の理論を用いて、有限アーベル群の自由作用により、$p_g = q = 0$ を満たす表面 $S = (C_1 \times C_2)/G$ を構成する。
• リーマン・フルヴィッツの公式を用い、分岐データと群作用の構造から、曲線 $C_1$ と $C_2$ の genus を計算する。
• 分岐点回りのモノドロミー要素の積が自明で、かつ群 $G$ を生成することを条件に適用する。
• 各曲線に対する安定化部分群の和集合が自明な交わりを持つことを確認し、作用が自由であることを保証する。
• 群論的基準を用いる：$G$ がアーベルの場合、指定された位数を持つ要素の生成タプルで、積が 1 となるものをすべて分類する。
• 非アーベル群 $\mathfrak{A}_5$、$\mathfrak{D}_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathfrak{S}_4$ の場合、ハルヴィッツ条件を満たし、群を生成する明示的な生成系を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有限アーベル群 $G$ が、genus $\geq 2$ の2曲線の積 $C_1 \times C_2$ 上で自由に作用し、商表面が $p_g = q = 0$ を満たすことができるか？
• RQ2 アーベル群 $G$ を用いた $p_g = q = 0$ を満たす高次積に同型な表面のモジュライ空間の連結成分は何か？
• RQ3 剛性を持つ表面の場合、第一ホモロジー群 $H_1(S, \mathbb{Z})$ と $G$ との関係はどのようにか？
• RQ4 非アーベル群 $\mathfrak{A}_5$、$\mathfrak{D}_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathfrak{S}_4$ を用いて、$p_g = q = 0$ を満たす表面の新しい例を構成できるか？
• RQ5 $G = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$ のベイユ表面は、$p_g = q = 0$ を満たす唯一の剛性例であり、それらを区別するのは何か？

主な発見

• 自由に作用する有限アーベル群 $G$ で、$p_g = q = 0$ を満たすものは、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3$、$(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4$、$(\mathbb{Z}/3\mathbb{Z})^2$、$(\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$ のみである。
• 群 $G = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$ の場合、$p_g = q = 0$ を満たす非同型な剛性表面がちょうど2つ存在し、それらは基本群の違いのみで区別される。
• すべてのアーベル群 $G$ の場合、ねじれ群 $T(S) = H_1(S, \mathbb{Z})$ は $G$ に全射であり、特に $G = (\mathbb{Z}/5\mathbb{Z})^2$ の場合、$T(S) = G$ が正確に成り立つ。
• 非アーベル群 $\mathfrak{A}_5$、$\mathfrak{D}_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$、$\mathfrak{S}_4$ を用いて、$p_g = q = 0$ を満たす表面の新しい例が構成され、曲線の genus とモノドロミーのデータが明示的に与えられた。
• $G = \mathfrak{A}_5$、$g(C_1) = 4$、$g(C_2) = 21$ の表面は、以前パルディーニによって $g(C_1) = 5$、$g(C_2) = 16$ で構成されたものとは異なり、新規のものである。
• $G = \mathfrak{D}_4 \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ の場合、$g(C_1) = 9$、$g(C_2) = 3$ の表面が構成され、$G = \mathfrak{S}_4$ の場合、$g(C_1) = 13$、$g(C_2) = 3$ の表面が構成され、両者とも既知の例と一致するが、今や代数的枠組みの中で得られた。