[論文レビュー] Some Notes on Constructions of Binary Sequences with Optimal Autocorrelation

Tongjiang Yan, Guang Gong|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、インタリーブド手法とほぼ差集合を用いて、周期的自己相関値が{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}、{-1, 3}であるバイナリ系列の一般化された構成法を提示する。既知の結果を{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}、{-1, 3}の系列に拡張する。主たる貢献は、レジェンドル、シデリニコフ、二重素数系列といった既知の基本系列から最適系列を導出する統一的フレームワークを提供することであり、モジュラー算術および二次剰余の性質を用いて明示的な自己相関関数を導出する。

ABSTRACT

Constructions of binary sequences with low autocorrelation are considered in the paper. Based on recent progresses about this topic, several more general constructions of binary sequences with optimal autocorrelations and other low autocorrelations are presented.

研究の動機と目的

• CDMAおよび暗号技術への応用を想定し、最適自己相関を有するバイナリ系列のより一般的な構成法を開発すること。
• 周期的相関値が{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}、{-1, 3}である系列の既存の構成法を統合・拡張すること。
• インタリーブド手法およびほぼ差集合の性質を活用して、最適相関特性を有する新しい系列族を生成すること。
• モジュラー算術および二次剰余集合に基づいて、新たに構成された系列の明示的な自己相関関数を提供すること。

提案手法

• インタリーブド構成法を用い、周期4Nの系列wを、4つの基本系列a_iを4タプルtの要素分ずらして結合することで形成する。
• 系列wの自己相関は、wの相関と成分系列aおよびbの相関を関係付ける理想恒等式(IaおよびIb)を用いて導出される。
• τ₁およびτ₂（シフトτの成分）に基づいて相関値を分類するために、Z_{2^n+1}または素数p ≡ 1または3 mod 4におけるモジュラー算術が適用される。
• レジェンドル系列の相関値を決定するために、pを法とする二次剰余（QR）および非剰余（NQR）集合が用いられる。特にp ≡ 1または3 mod 4のとき有効である。
• 二重素数系列の場合は、法(p+2)を用いてシフトを分類し、合同条件に基づいて相関値を計算する。
• 最適自己相関値をもたらす4タプルtおよび基本系列対(a, b)を特定するために、すべての可能な4タプルtおよび系列対(a, b)を体系的に評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 インタリーブド構成法は、既知の系列族を超えて、最適自己相関を有するバイナリ系列を一般化して生成できるか？
• RQ2 最適自己相関値を達成するための基本系列およびシフトタプルの必要十分条件は何か？
• RQ3 pを法とする二次剰余および非剰余の性質は、インタリーブド構成におけるレジェンドル系列に基づく系列の自己相関にどのように影響するか？
• RQ4 特定のシフトパターンを用いたインタリーブド法により、二重素数系列の相関挙動を体系的に拡張できるか？
• RQ5 ほぼ差集合およびシフトタプルtの構造は、最適相関特性を達成するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿では、インタリーブド手法および既知の基本系列を用いて、最適自己相関値{0, -4}、{1, -3}、{2, -2}、{-1, 3}を有するバイナリ系列を構成する。
• p ≡ 3 mod 4であるレジェンドル系列から導出される系列では、τ₂ = 0のとき、非周期的自己相関は-4であり、τ₁およびηがpを法としてどうなるかに応じて、-4から4までの値をとる。
• p ≡ 1 mod 4であるレジェンドル系列を用いる場合、τ₂ = 0のとき自己相関値は-4であり、τ₁ + ηがpを法として二次剰余または非剰余であるかに依存して値が変化する。
• 二重素数系列では、τ₂ = 0かつτ₁ ≡ 0 mod (p+2)のとき自己相関は-4であり、それ以外の場合は4となる。τ₂ = 1およびτ₂ = 2のとき、値は0である。
• H(t) = 1または3であるすべてのシフトパターンtに対して、最適自己相関を有する系列が得られる。また、ペアd m系列またはGGMW系列に対しても同様の結果が得られる。
• フレームワークにより、t = 0111またはt = 0001を用いたインタリーブド構成は、{0, -4}または{0, ±4}自己相関を有する系列を生成することが確認され、先行研究の結果を拡張する。