[論文レビュー] Some notes on property A

Rufus Willett|ArXiv.org|Dec 17, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 53被引用数 49

ひとこと要約

この論文は、粗幾何におけるProperty Aについて、自己完結的でアクセス可能な入門を提供し、uniform Roe代数の核的性と群の滑らかでないC*-代数の正確性の同値性を確立している。Property Aはヒルベルト空間への粗い埋め込みを示し、したがって可算離散群に対して強いノヴィコフ予想を示す。また、アメニタリティ、カーネル、ℓ^p空間への埋め込みとの関係についても検討している。

ABSTRACT

We provide an expository account of Guoliang Yu's property A. The piece starts from the basic definitions, and goes on to discuss closure properties of the class of property A spaces (and groups) and the relationship of property A to coarse embeddability problems, operator theory, and amenability. It finishes with some examples of non-property A spaces. We also include an annotated bibliography covering much of the related literature.

研究の動機と目的

• アメニタリティを一般化し、ヒルベルト空間への粗い埋め込みを容易にする粗幾何的不変量としてProperty Aを提示すること。
• Property Aとuniform Roe代数の核的性の同値性、およびProperty Aと可算離散群の滑らかでないC*-代数の正確性の同値性を確立すること。
• Property Aが粗い Baum-Connes予想および強いノヴィコフ予想に与える影響を探索すること。
• Property Aをもつ空間および群の基礎的例と永続性に関する性質を提供すること。
• Property A、アメニタリティ、およびℓ^p空間への埋め込みとの関係を調査し、特にProperty Aを持たないが埋め込み不可能な空間に関する最近の結果を含む。

提案手法

• 正定値カーネルを用いた特徴づけを含む、複数の同値な定義を通じてProperty Aを導入する。
• 古典的な正定値カーネルの理論を用いて、ヒルベルト空間およびℓ^p空間への粗い埋め込みを特徴づける。
• 関数解析的道具を用いて、距離空間のuniform Roe代数および群の滑らかでないC*-代数を定義する。
• Property Aとuniform Roe代数の核的性の同値性、およびProperty Aと滑らかでないC*-代数の正確性の同値性を確立する。
• 有限漸近次元または指数的成長より小さい群はProperty Aをもち、群の演算の下で閉じていることを示す。
• 特定のワーペッド・コンイや性質Tを持つランダム群から導かれる空間を含む、Property Aを持たない空間の例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Property Aは、距離空間がヒルベルト空間へ粗く埋め込まれることとどのように関係しているか？
• RQ2 可算離散群の滑らかでないC*-代数の正確性とProperty Aの関係は何か？
• RQ3 どの群論的構成がProperty Aを保存するのか？ また、拡張自由積やHNN拡張ではどのように振る舞うか？
• RQ4 Property Aを持つ空間がp > 2に対してℓ^pに粗く埋め込めないことはあり得るか？ そして、粗い Baum-Connes予想にどのような影響を与えるか？
• RQ5 Property Aの既知の障害は何であり、それらは性質Tやエクスパンダーとどのように関係しているか？

主な発見

• Property Aは、一様離散な距離空間のuniform Roe代数の核的性と同値である。
• Property Aは、可算離散群の滑らかでないC*-代数の正確性と同値である。
• 有限漸近次元をもつ群はProperty Aをもち、この性質は拡張自由積やHNN拡張を含む特定の群の演算の下で保存される。
• ヒルベルト空間へ粗く埋め込めるがProperty Aを持たない局所的に有限な距離空間が存在し、Property Aが粗い埋め込みよりも厳密に強いことを示している。
• 性質T群の作用に基づくワーペッド・コンイのような空間はProperty Aを持たず、埋め込み不可能な例のクラスを提供している。
• この論文は、p > 2のℓ^p空間がℓ^2に粗く埋め込めないこと、およびℓ^2がp > 2のℓ^pに粗く埋め込めないことを確認しており、埋め込みにおける一様強凸性の役割を強調している。