[論文レビュー] Some numerical radius inequalities for semi-Hilbert space operators

Kais Feki|arXiv (Cornell University)|Jan 2, 2020

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、A-作用素セミノルムとA-数値半径を用いて、半ヒルベルト空間作用素に対する鋭い数値半径不等式を確立する。不等式 $\frac{1}{4}\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A \leq \omega_A^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A$ を証明し、既存の境界を著しく改善し、特定の作用素行列の $\mathbb{A}$-数値半径を計算するために応用することで、A-有界およびA-正規作用素の理論を前進させる。

ABSTRACT

Let $A$ be a positive bounded linear operator acting on a complex Hilbert space $\big(\mathcal{H}, \langle \cdot\mid \cdot angle \big)$. Let $ω_A(T)$ and ${\|T\|}_A$ denote the $A$-numerical radius and the $A$-operator seminorm of an operator $T$ acting on the semi-Hilbertian space $\big(\mathcal{H}, {\langle \cdot\mid \cdot angle}_A\big)$ respectively, where ${\langle x\mid y angle}_A := \langle Ax\mid y angle$ for all $x, y\in\mathcal{H}$. In this paper, we show that \begin{equation*}\label{m1} frac{1}{4}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A\le ω_A^2\left(T ight) \le frac{1}{2}\|T^{\sharp_A} T+TT^{\sharp_A}\|_A. \end{equation*} Here $T^{\sharp_A}$ is denoted to be a distinguished $A$-adjoint operator of $T$. Moreover, a considerable improvement of the above inequalities is proved. This allows to compute the $\mathbb{A}$-numerical radius of the operator matrix $\begin{pmatrix} I&T \\ 0&-I \end{pmatrix}$ where $\mathbb{A}= ext{diag}(A,A)$. In addition, several $A$-numerical radius inequalities for semi-Hilbertian space operators are also established.

研究の動機と目的

• 半ヒルベルト空間作用素のA-数値半径に対する新しい、よりきつい境界を確立すること。
• A-作用素セミノルムおよびA-数値半径を含む既存の不等式を精緻化すること。
• 改善された不等式を用いて、作用素行列 $\begin{pmatrix}I&T\\ 0&-I\end{pmatrix}$ の $\mathbb{A}$-数値半径を計算すること。
• 正規作用素およびA-随伴を含む半ヒルベルト空間における、古典的数値半径結果の拡張を図ること。
• A-設定における可換性および正規性条件の下でのA-数値半径の挙動を調査すること。

提案手法

• 本稿は、正規作用素 $A$ によって誘導される半ヒルベルト空間の文脈において、A-数値半径 $\omega_A(T)$ およびA-作用素セミノルム $\|T\|_A$ を導入する。
• 関係 $AS = T^*A$ を用いて $A$-随伴 $T^{\sharp_A}$ を定義し、$T \in \mathcal{B}_A(\mathcal{H})$ であることを保証する。
• 作用素論および $\mathcal{R}(A^{1/2})$ 上の誘導ノルムの性質を用いて、鍵となる不等式 $\frac{1}{4}\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A \leq \omega_A^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A$ を導出する。
• 標準的等長同型写像を $\mathcal{H}/\mathcal{N}(A)$ と $\mathbf{R}(A^{1/2})$ 間に用いて、作用素をヒルベルト空間に持ち上げ、標準的数値半径結果の適用を可能にする。
• 可換性および正規性条件は、$\mathbf{R}(A^{1/2})$ 上の持ち上げられた作用素 $\widetilde{T}$ を用いて分析され、Fugledeの定理およびユニタリ/等長的性質を活用する。
• 結果は、A-ユニタリ、A-等長的、およびA-正規作用素へと拡張され、$\omega_A(TS)$、$\omega_A(S)$、および $\|T\|_A$ を含む不等式が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A-作用素セミノルム $\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A$ を用いて、A-数値半径 $\omega_A(T)$ に対するよりきつい境界を確立できるか？
• RQ2 ブロック作用素行列 $\begin{pmatrix}I&T\\ 0&-I\end{pmatrix}$ の $\mathbb{A}$-数値半径は、$T$ のA-数値半径とどのように関係するか？
• RQ3 A-正規作用素に対して $\omega_A(TS) \leq \omega_A(T)\omega_A(S)$ が成り立つ条件は何か？
• RQ4 A-ユニタリまたはA-等長的作用素 $U$ に対して $\omega_A(UT) \leq \omega_A(T)$ が成り立つ条件は何か？
• RQ5 可換性およびA-随伴の整合性が、A-フレームワークにおける積の数値半径にどのように影響するか？

主な発見

• 本稿は鋭い二重不等式 $\frac{1}{4}\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A \leq \omega_A^2(T) \leq \frac{1}{2}\|T^{\sharp_A}T + TT^{\sharp_A}\|_A$ を確立し、既知の境界を精緻化した。
• この不等式は著しく改善されており、$\mathbb{A} = \text{diag}(A,A)$ の場合に、作用素行列 $\begin{pmatrix}I&T\\ 0&-I\end{pmatrix}$ の $\mathbb{A}$-数値半径を正確に計算可能である。
• A-ユニタリ $U$ が $T$ と可換である場合、不等式 $\omega_A(UT) \leq \omega_A(T)$ が成り立つことが示され、古典的数値半径性質の一般化である。
• 作用素 $T$ がA-等長的であり、$S$ と可換で、$A$-随伴が整合的である場合、$\omega_A(TS) \leq \omega_A(S)$ が成り立ち、$\|T\|_A = 1$ のとき等号が成立する。
• A-正規作用素 $T$ が $S$ と可換である場合、不等式 $\omega_A(TS) \leq \omega_A(T)\omega_A(S)$ が証明され、数値半径の古典的乗法性の拡張が得られた。
• 結果は、等長的同型写像を介してヒルベルト空間 $\mathbf{R}(A^{1/2})$ に持ち上げられ、標準的数値半径定理の適用が可能になった。