[論文レビュー] Some observations on Karoubian complete strongly exceptional posets on the projective homogeneous varieties

Masaharu Kaneda, Jiachen Ye|ArXiv.org|Nov 13, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 26被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、正標数における射影的同調的多様体 $G/P$ 上の局所自由層のカルービアン完全な強く例外的集合を構成する新しい手法を提案する。この手法は、構造層のフロベニウス直接像 $F_*\tilde{\omega}$ を用い、低ランクの再帰的代数群に対して、ウェイル群の剰余類をパrameterとする層が $F_*\tilde{\omega}$ の直和成分として現れることを特定し、カタネーゼの予想を検証するとともに、$\mathbb{C}$ への基底変換によりビリノフおよびカプラノフの古典的結果を正標数へ拡張する。構成は $G_1T$-層系列とカジダン＝ルシュティグ多項式に依拠し、型 $A_n$ および $C_n$ に対して明示的な公式を提示する。

ABSTRACT

Let $\cP=G/P$ be a homogeneous projective variety with $G$ a reductive group and $P$ a parabolic subgroup. In positive characteristic we exhibit for $G$ of low rank a Karoubian complete strongly exceptional poset of locally free sheaves appearing in the Frobenius direct image of the structure sheaf of $G/P$. These sheaves are all defined over $\bbZ$, so by base change provide a Karoubian complete strongly exceptional poset on $\cP$ over $\bbC$, adding to the list of classical results by Beilinson and Kapranov on the Grassmannians and the quadrics over $\bbC$.

研究の動機と目的

• 射影的同調的多様体 $G/P$ 上の局所自由層のカルービアン完全な強いてく例外的集合を構成する新しい方法を提供すること。
• パラメータ $W^P$ によって指定される層 ${\mathcal{E}}_w$ の存在が、強いてく例外的および生成条件を満たすというカタネーゼの予想を検証すること。
• これらの層が正標数 $p > h$ において、フロベニウス直接像 $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ の直和成分として生じることを確立すること。
• $\mathbb{C}$ 上のビリノフおよびカプラノフの古典的結果を、$G_1$-加群構造を用いた基底変換により正標数へ拡張すること。
• 構成が $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ の傾き的性質および Bezrukavnikov-Mirkovic-Rumynin 局在化定理とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 絶対的フロベニウス準同型 $F: \mathcal{P} \to \mathcal{P}$ を用いて $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ を研究し、$G/G_1P$ を通した分解により $\phi_*q_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ に同型であることを示す。
• $q_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ を分類する $G_1P$-加群 $\hat{\nabla}_P(\varepsilon)$ の構造を、$G_1T$-層系列を用いて分析する。
• $\hat{\nabla}_P(\varepsilon)$ の層層をカジダン＝ルシュティグ多項式を用いて表現し、$w \in W^P$ によってパラメータ化される $G_1$-単純加群を特定する。
• $G_1P$-加群を $(\ell(w)+1)$-番目の層層に属するものとして、$W^P$ 上の順序を逆転させた上で、層化して ${\mathcal{E}}_w$ を構成する。
• 型 $A_n$ および $C_n$ に対して、${\mathcal{E}}_w$ を明示的に $\mathcal{O}_{\mathcal{Q}}(-i)$ または twisted Verma 加群 $\mathcal{L}(\nabla^P(\omega))(-i)$ として定義する。
• $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{Q}}$ の分解を、$\bar{A}_j$（対称代数の $p$ 乗剰余による剰余）とのテンソル積に分解することで、直和成分を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数におけるフロベニウス引き戻しを用いて、$G/P$ 上にカルービアン完全な強いてく例外的集合を構成できるか？
• RQ2 低ランクの再帰的代数群に対して、$W^P$ によってパラメータ化される層 ${\mathcal{E}}_w$ が $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ の直和成分として現れるか？
• RQ3 $\hat{\nabla}_P(\varepsilon)$ の $G_1T$-層系列が、層化によって ${\mathcal{E}}_w$ を再構成するのに十分か？
• RQ4 ランク $\leq 2$ の群 $G$ 及びパラボリック部分群 $P$ に対して、$F_*\mathcal{O}_{\mathcal{P}}$ がすべての ${\mathcal{E}}_w$ を直和成分として含むのはどの場合か？
• RQ5 正標数におけるこの構成（基底変換を用いて）は、$\mathbb{C}$ 上でカタネーゼの予想を満たす強いてく例外的集合を生成するか？

主な発見

• 型 $A_n$ または $C_n$ で $n = 2m+1$ または $n = 2m$ の場合、層 ${\mathcal{E}}_w$ は明示的に ${\mathcal{O}}_{\mathcal{Q}}(-i)$ または twisted Verma 加群 $\mathcal{L}(\nabla^P(\omega))(-i)$ として構成され、$w \in W^P$ である。
• $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{Q}}$ の分解は、$n = 2m+1$ のとき $\bigoplus_{i \in [0,n[ \setminus \{m+1\}} \mathcal{O}_{\mathcal{Q}}(-i) \otimes_{\Bbbk} \bar{A}_{ip} \oplus \mathcal{L}(\nabla^P(\omega_{m+1}))^{\oplus r}(-m-1)$ で与えられ、$r = \frac{\dim \bar{A}_{(m+1)p} - \dim \bar{A}_{mp-n}}{\dim L(\omega_{m+1})}$ である。
• $n = 2m$ のとき、$F_*\mathcal{O}_{\mathcal{Q}} \simeq \bigoplus_{i \in [0,n[ \setminus \{m\}} \mathcal{O}_{\mathcal{Q}}(-i) \otimes_{\Bbbk} \bar{A}_{ip} \oplus \left(\mathcal{L}(\nabla^P(\omega_m) \oplus \nabla^P(\omega_{m+1}))\right)^{\oplus s}(-m)$ であり、$s = \frac{\dim \bar{A}_{mp} - \dim \bar{A}_{mp-n}}{\dim(L(\omega_m) \oplus L(\omega_{m+1}))}$ である。
• $p \geq n+1$（$G$ のコックスター数）のとき、すべての ${\mathcal{E}}_w$ が $F_*\mathcal{O}_{\mathcal{Q}}$ の直和成分として現れ、正標数における構成が有効であることが保証される。
• ${\mathcal{E}}_w$ は、$\hat{\nabla}_P(\varepsilon)$ の $(\ell(w)+1)$-番目の層層に属する $G_1$-単純加群の層化として得られ、$W^P$ 上の順序は逆転されている。
• ランガーの結果により、構成された ${\mathcal{E}}_w$ がカタネーゼの予想を満たすことが確認された：これらは強いてく例外的であり、導来圏を生成し、必要な Ext および台条件を満たす。