[論文レビュー] Some Observations on Khovanskii's Matrix Methods for extracting Roots of Polynomials

James McLaughlin, B. Sury|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2019

Iterative Methods for Nonlinear Equations参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、多項式の根、特に立方根および三次方程式の実根を近似するためのコファンスキーの行列ベースの手法に対して、収束基準、最適パラメータ選定、および閉形式の式を提供する。行列の特定の構成に基づき、$ m \times m $ 行列の累乗における要素比が目的の根に収束することを証明し、繰り返しの行列乗算を避けるための明示的な公式を提供する。

ABSTRACT

In this article we apply a formula for the $n$-th power of a $3 imes 3$ matrix (found previously by the authors) to investigate a procedure of Khovanskii's for finding the cube root of a positive integer. We show, for each positive integer $α$, how to construct certain families of integer sequences such that a certain rational expression, involving the ratio of successive terms in each family, tends to $α^{1/3}$. We also show how to choose the optimal value of a free parameter to get maximum speed of convergence. We apply a similar method, also due to Khovanskii, to a more general class of cubic equations, and, for each such cubic, obtain a sequence of rationals that converge to the real root of the cubic. We prove that Khovanskii's method for finding the $m$-th ($m \geq 4$) root of a positive integer works, provided a free parameter is chosen to satisfy a very simple condition. Finally, we briefly consider another procedure of Khovanskii's, which also involves $m imes m$ matrices, for approximating the root of an arbitrary polynomial of degree $m$.

研究の動機と目的

• 正の整数の立方根を抽出するためのコファンスキーの行列法の厳密な収束条件を確立すること。
• 収束速度を最大化するための行列構成における自由パラメータ $ a $ の最適選択を特定すること。
• $ m \times m $ 行列を用いて一般の三次方程式および高次多項式へこの手法を拡張すること。
• 繰り返しの行列乗算を回避するための行列累乗の閉形式表現を提供すること。
• 任意の多項式へこのアプローチを一般化し、実根に収束するための条件を同定すること。

提案手法

• 固有多項式および固有値に基づいて導出された $ 3 \times 3 $ 行列の $ n $ 番目の累乗の閉形式公式を用いる。
• 行列累乗の公式を適用し、比 $ A_{n,2,1}/A_{n,3,1} $ が $ \alpha^{1/3} $ に収束することを分析し、$ a > -\alpha^{2/3}/(1 + \alpha^{1/3}) $ のとき収束を証明する。
• 複素単位根と誤差係数の上限を用いて、誤差項 $ |A_{n,2,1}/A_{n,3,1} - \alpha^{1/3}| $ の明示的表現を導出する。
• $ m \times m $ 行列を用いて一般の $ m $ 乗根および形 $ x^3 - p x - q = 0 $ の三次方程式へ拡張し、固有値の優位性と行列の対角化を用いる。
• 行列 $ A $ の固有値構造を用い、主な固有値 $ \beta_1 $ が行列要素の漸近的挙動を支配することを示す。
• 行列の相似変換 $ M^{-1} A M = \text{diag}(\beta_1, \dots, \beta_m) $ を適用し、単位根と固有値を含む $ A_{n,i,j} $ の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コファンスキーの $ 3 \times 3 $ 行列の累乗の要素比が正の整数の立方根に収束する条件は何か？
• RQ2 収束速度を最大化するための自由パラメータ $ a $ の最適値は何か？
• RQ3 繰り返しの行列乗算を避けるために、$ A^n $ の閉形式表現を導出できるか？
• RQ4 整数の $ m \geq 4 $ 乗根に対するコファンスキーの手法は収束するか？収束を保証する条件は何か？
• RQ5 一般の $ m $ 次多項式に対して、行列ベースの比が実根に収束するための条件は何か？

主な発見

• 任意の整数 $ \alpha > 1 $ に対して、すべての整数 $ a > -\frac{\alpha^{2/3}}{1 + \alpha^{1/3}} $ に対して、列挙列 $ \frac{A_{n,2,1}}{A_{n,3,1}} $ は $ \alpha^{1/3} $ に収束し、$ a $ に依存せずに収束が保証される。
• 収束を最も速くするための $ a $ の最適選択は、$ \bar{a} = \frac{1 + \alpha^{1/3}}{\alpha^{1/3} + \alpha} $ に最も近い二つの整数のうちの一つであり、誤差項を最小化する。
• 近似の誤差は、ある絶対定数 $ C $ を用いて $ \left| \frac{A_{n,2,1}}{A_{n,3,1}} - \alpha^{1/3} \right| \leq C \cdot 2^{-n} $ を満たし、誤差係数の明示的上限が得られる。
• 三次方程式 $ x^3 - p x - q = 0 $ に対して、$ 27q^2 - 4p^3 > 0 $ のとき、この手法は実根に収束し、ルートを含む閉形式の式で表される。
• 一般の $ m \times m $ 行列 $ A $ に対して、$ a > 0 $ のとき、$ n \to \infty $ において比 $ \frac{A_{n,i,j}}{A_{n,u,v}} $ は $ \alpha^{(j+u-i-v)/m} $ に収束する。これは、最初の固有値の優位性による。
• 構造化された $ m \times m $ 行列の構成を用いて、任意の多項式へこの手法を拡張可能であるが、収束はすべてのケースで保証されず、スペクトル特性に依存する。