[論文レビュー] Some Observations on Lambert series, vanishing coefficients and dissections of infinite products and series

James Mc Laughlin|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2019

Advanced Mathematical Identities参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、複素数の級数変形によって以前に示された無限q乗積における消滅係数およびm-分解について、ラマヌジャンの${}_1\psi_1$和公式から導かれる1つの恒等式におけるパラメータの特殊化から直接導かれることが示されている。新しいq級数恒等式が確立され、整数mをパラメータとする展開が含まれ、この手法をファイン関数に適用することで、既存の結果が統一的かつ簡略化される。

ABSTRACT

Andrews and Bressoud, Alladi and Gordon, and others, have proven, in a number of papers, that the coefficients in various arithmetic progressions in the series expansions of certain infinite $q$-products vanish. In the present paper it is shown that these results follow automatically (simply by specializing parameters) in an identity derived from a special case of Ramanujan's $_1ψ_1$ identity. Likewise, a number of authors have proven results about the $m$-dissections of certain infinite $q$-products using various methods. It is shown that many of these $m$-dissections also follow automatically (again simply by specializing parameters) from this same identity alluded to above. Two identities that mat be considered as extensions of two Identities of Ramanujan are also derived. It is also shown how applying similar ideas to certain other Lambert series gives rise to some rather curious $q$-series identities, such as, for any positive integer $m$, \begin{multline*} {\displaystyle \frac{\left(q,q,a,\frac{q}{a},\frac{b q}{d}, \frac{dq}{b}, \frac{aq}{b d}, \frac{b d q}{a};q ight)_{\infty }} {\left(b,\frac{q}{b},d,\frac{q}{d},\frac{a}{b},\frac{bq}{a},\frac{a}{d},\frac{dq}{a};q ight)_{\infty }}} = \sum _{r=0}^{m-1} q^r \frac{ \left(q^m,q^m,a q^{2 r},\frac{q^{m-2 r}}{a},\frac{b q^m}{d},\frac{d q^m}{b}, \frac{a q^m}{b d},\frac{b dq^m}{a};q^m ight){}_{\infty }} {\left(b q^r,\frac{q^{m-r}}{b},d q^r,\frac{q^{m-r}}{d},\frac{a q^r}{b},\frac{b q^{m-r}}{a},\frac{a q^r}{d}, \frac{dq^{m-r}}{a};q^m ight){}_{\infty }} \end{multline*} and \begin{equation*} (aq;q)_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n a^n q^{n}}{(q;q)_n} = \sum_{r=1}^{m}(aq^{r};q^m)_{\infty}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{na^n q^{n r}}{(q^m;q^m)_n}. \end{equation*} Applications to the Fine function $F(a,b;t)$ are also considered.

研究の動機と目的

• q積展開における算術級数における消滅係数の既存の証明を統一的かつ簡略化すること。
• 無限q積のm-分解が、1つの一般恒等式におけるパラメータの特殊化から自動的に導かれることが示されること。
• 整数mを含むパラメータ化された展開を含む、新しい奇妙なq級数恒等式を導出すること。
• この手法をファイン関数F(a,b;t)および関連する超幾何級数へ拡張すること。
• q級数における複雑な結果が、1つの基礎的恒等式から体系的に導かれることが示されること。

提案手法

• ラマヌジャンの${}_1\psi_1$和公式の特別な場合を、中心的恒等式として用いる。
• パラメータの特殊化を適用して、消滅係数およびm-分解の恒等式を導出する。
• 置換n → nm + rによる算術級数の分解を用いて、m-分解恒等式を生成する。
• 同じ手法をベイリー対および${}_6\psi_6$和公式に適用し、新たなq級数展開を導出する。
• 関数方程式および級数の再配置を用いて、異なるq級数表現を結びつける。
• 既知のロジャース＝ファイン型恒等式から、ファイン関数F(a,b;t)に適用し、パラメータ化された恒等式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 q積における消滅係数の結果は、1つの一般恒等式から一様に導出可能か？
• RQ2 無限q積のm-分解は、既知の和公式におけるパラメータの特殊化から導かれるか？
• RQ3 他のラマヌジャン級数や超幾何恒等式にこの手法を適用すると、どのような新しいq級数恒等式が得られるか？
• RQ4 この手法はファイン関数F(a,b;t)のような関数へ拡張可能か？
• RQ5 整数mを含むパラメータ化された恒等式は、このような一般的枠組みからどのように導かれるか？

主な発見

• 恒等式 \\[ \frac{(q,q,a,q/a,bq/d,dq/b,aq/bd,bdq/a;q)_\infty}{(b,q/b,d,q/d,a/b,bq/a,a/d,dq/a;q)_\infty} = \sum_{r=0}^{m-1} q^r \frac{(q^m,q^m,aq^{2r},q^{m-2r}/a,bq^m/d,dq^m/b,aq^m/bd,bdq^m/a;q^m)_\infty}{(bq^r,q^{m-r}/b,dq^r,q^{m-r}/d,aq^r/b,bq^{m-r}/a,aq^r/d,dq^{m-r}/a;q^m)_\infty} \\ \] が、ラマヌジャンの恒等式の新しい拡張として導出された。
• 任意の正の整数mに対して、恒等式 \\[ (aq;q)_\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{na^n q^n}{(q;q)_n} = \sum_{r=1}^m (aq^r;q^m)_\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{na^n q^{nr}}{(q^m;q^m)_n} \\ \] が成り立ち、パラメータ化されたq級数展開を提供する。
• 定理1.1における消滅係数の結果は、一般恒等式におけるパラメータの特殊化によって自動的に導かれることが示され、従来の複雑な変形を回避する。
• 積 $ \frac{(q^7,q^5;q^{12})_\infty}{(q,q^{11};q^{12})_\infty} $ の3-分解が特殊ケースとして回復され、補題1.2が確認された。
• 反復的な手法により、無限積恒等式 $ \frac{(q^5,q^5;q^5)_\infty}{(q,q^4;q^5)_\infty} = \frac{1}{1-q^2} \prod_{k=1}^\infty \left(1 + q^{2^{k-1}} \cdots \right) $ が主恒等式から導出された。
• 同じ関数（例：$ h_1(a,q) = \cdots = h_6(a,q) $）の6通りの異なるq級数表現の同値性が確立され、mパラメータ版へ拡張された。