[論文レビュー] Some old and new results about rigidity of critical metric

Gilles Carron|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リッチ・リーマン曲率テンソルに関連するボーチャー型方程式を満たす臨界リーマン計量—つまり、曲率テンソルに依存するボーチャー型方程式を満たす計量—のための新しい $\epsilon$-正則性および剛性結果の証明を提示する。この証明は関数不等式と曲率の $L^p$ 界を用いる。主な貢献は、一般の $L^p$-基盤の $\epsilon$-剛性定理の確立である：測地的球上でのリーマン曲率テンソルの $L^p$ ノルムが次元および曲率作用素の有界性に依存する小さな条件を満たすならば、計量は平坦である。

ABSTRACT

We present a new proof of a recent $ε$ regularity of G. Tian and J.Viaclovsky. Moreover, our idea also also works with a kind of $L^p, p

研究の動機と目的

• 従来の研究で用いられた複雑なデ・ジョルジ–ナッシュ–モーザー反復法に依存せずに、臨界計量の $\epsilon$-正則性および剛性を直接的に証明すること。
• 既存の $\epsilon$-剛性結果を、$L^{n/2}$ やソボレフ型の仮定に限定せず、$p < \dim M/2$ の $L^p$ ノルムの曲率に一般化すること。
• 完全な臨界計量に対して、新しい $L^p$-基盤の $\epsilon$-剛性定理を確立し、$r^{2p}/\operatorname{vol}(B) \int_B |\operatorname{Rm}|^p$ の小さな条件が成り立つならば平坦性が導かれるようにすること。
• 曲率減衰および関数不等式に基づく統一的で直接的な方法により、アンドリューズの体積剛性結果（リッチ平坦多様体のもの）を回復・再証明すること。
• 臨界剛性の適用範囲を、スカラー曲率がゼロの局所的共形平坦計量や正の曲率を持つアインスタイン計量を含む、より広い曲率仮定へと拡張すること。

提案手法

• 体積成長が制御された多様体上での新しい $L^1$ ハーディー型不等式を導出し、曲率減衰仮定を用いて関数の大きさをその勾配で制御する。
• 臨界計量に対して成り立つリーマン曲率テンソルのボーチャー型方程式 $\nabla^*\nabla \operatorname{Rm} + \mathcal{R}(\operatorname{Rm}) = 0$ を適用し、点での推定を得る。
• 測地的球上でのリーマン曲率テンソルの $L^p$ ノルムの境界を用いる：$\frac{r^{2p}}{\operatorname{vol}(B)} \int_B |\operatorname{Rm}|^p \, d\operatorname{vol} < \epsilon$ により、曲率の減衰を制御し、平坦性を導出する。
• 正の曲率を持つアインスタイン多様体におけるウェイルテンソルに対して最大値原理を適用し、非ゼロのウェイルテンソルがその $L^\infty$ ノルムに下界を与えることを示す。
• 曲率および体積の仮定の下で測地的球にビショップ–グロモフ比較原理を適用し、体積比の推定を得て、平坦でなければ正の曲率と矛盾することを示す。
• 曲率不変量を用いたグレイ–ヴァンヘッケの体積成長の漸近展開を用い、体積比と点での曲率の大きさを関係付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界計量の $\epsilon$-正則性および剛性結果は、デ・ジョルジ–ナッシュ–モーザー反復法に依存せずに再証明可能か？
• RQ2 曲率の $L^p$ ノルムの境界（$p < \dim M/2$）が、臨界計量の剛性（すなわち平坦性）を示唆するか？
• RQ3 $r^{2p}/\operatorname{vol}(B) \int_B |\operatorname{Rm}|^p$ の小さな条件が、曲率テンソルが恒等的にゼロであることを示唆するか？
• RQ4 リッチ平坦多様体のアンドリューズの体積剛性結果は、曲率減衰および関数不等式を用いた直接的証明で再現可能か？
• RQ5 正の曲率を持つアインスタイン多様体において、体積成長、曲率減衰、およびウェイルテンソルの消滅との間の定量的関係は何か？

主な発見

• 新しい $\epsilon$-剛性定理が確立された：$\frac{r^{2p}}{\operatorname{vol}(B)} \int_B |\operatorname{Rm}|^p \, d\operatorname{vol} < \epsilon$ が成り立つならば、$p < \dim M/2$ のとき計量は平坦であり、$\epsilon$ は $n$, $p$, および曲率作用素の有界性 $\Upsilon$ のみに依存する。
• ティアン–ヴィアクロフスキーおよびチェン–ウェーバーの研究で用いられた複雑なデ・ジョルジ–ナッシュ–モーザー反復法に依存せず、技術的複雑性を回避する直接的証明が提供された。
• この方法により、アンドリューズの体積剛性結果が回復された：$\lim_{r\to\infty} \frac{\operatorname{vol} B(x,r)}{r^n} \geq \omega_n(1 - \epsilon_n)$ ならば、リッチ平坦多様体は $\mathbb{R}^n$ に等長である。新たな直接的証明が与えられた。
• 閉じたアインスタイン多様体で $\operatorname{Ricci}_g = (n-1)g$ が成り立つ場合、ウェイルテンソルが非ゼロならば $\max |\operatorname{W}| \geq \frac{2(n-1)}{c(n)}$ であり、これは定量的下界である。
• スカラー曲率がゼロで局所的共形平坦な計量の場合、体積成長が下から $v r^n$、上から $\omega_n r^n (1 + \varepsilon_n v^4)$ で有界ならば、多様体は $\mathbb{R}^n$ に等長であり、$\varepsilon_n > 0$ は絶対定数である。
• この方法は、アインスタイン計量、定数スカラー曲率を持つケーラー計量、4次元で定数スカラー曲率を持つバッチ平坦計量を含む広範な臨界計量のクラスに適用可能である。