[論文レビュー] Some Problems on Knots, Braids, and Automorphism Groups

Valeriy G. Bardakov, Krishnendu Gongopadhyay+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、2014年のノボシビルスク国際ワークショップから生じた、絡み目の理論、ブレード群、自己同型群に関する未解決問題をまとめ、議論している。主なテーマは、回文的幅と交換子幅、ブルンイアンおよび二色ブレード、双曲的3-軌道群、内部自己同型と準内部自己同型の関係、スタイクの対称的コホモロジーであり、幾何的群論および低次元位相幾何学における今後の研究を導く基盤的問題を提示している。

ABSTRACT

We present and discuss some open problems formulated by participants of the International Workshop "Knots, Braids, and Auto\-mor\-phism Groups" held in Novosibirsk, 2014. Problems are related to palindromic and commutator widths of groups; properties of Brunnian braids and two-colored braids, corresponding to an amalgamation of groups; extreme properties of hyperbolic 3-orbifold groups, relations between inner and quasi-inner automorphisms of groups; and Staic's construction of symmetric cohomology of groups.

研究の動機と目的

• 2014年ノボシビルスクでのワークショップから得られた、幾何的群論、絡み目の理論、ブレード群に関する未解決研究問題をまとめ、広報すること。
• 特に可解群およびノルム群を含む有限生成群における回文的幅と交換子幅に関する研究を促進すること。
• 群の結合とその代数的不変量を用いて、ブルンイアンおよび二色ブレードの構造的性質を調査すること。
• 双曲的3-軌道群の極端な幾何的および代数的性質とその線形性を調査すること。
• 内部自己同型と準内部自己同型の関係を検討し、群のスタイクの対称的コホモロジーの理解を深めること。

提案手法

• 2014年国際ワークショップ「絡み目、ブレード、自己同型群」の議論および発表に基づいて未解決問題を提示する。
• 組合せ的およびコホモロジカルな手法を用いて、自由アーベル群、ノルム群、可解群における回文的幅の解析に群論的技法を適用し、境界を導出する。
• 群の自由結合による二色ブレードの定義と研究を行い、ブレード構造と群の提示との関連を明示する。
• スタイクの構成を用いて対称的コホモロジーを調査し、対称群作用における不変コチェーンとコバウンダリー複体を分析する。
• スペクトル系列および分類空間技法を用いて、コホモロジーオブジェクトの一般化の可能性を探る。
• 対称的シュールおよびボゴモロフの多重器を通常のコホモロジーの部分群として定義し、古典的不変量と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自由r段階ノルム群N_{n,r}（n ≥ 3, r ≥ 2）の正確な回文的幅は何か？
• RQ2 任意の自由ノルム群の元gに対して回文的長さl_P(g)を計算するためのアルゴリズムを構築できるか？
• RQ3 対称的コホモロジーに対するリーンド＝ホッキルド＝セール型スペクトル系列は存在するか？
• RQ4 分類空間を用いた（例：位相的構成）によって、離散群の対称的コホモロジーが実現可能か？
• RQ5 対称的コホモロジーをリー代数へ拡張できるか？また、リー群の対称的コホモロジーとはどのように関係するか？

主な発見

• 自由アーベル群のランクnにおける回文的幅は、定理1(1)で示されたように正確にnである。
• r ≥ 2 の自由r段階ノルム群では、2(n−1) ≤ pw(N_{n,r}) ≤ 3n が成り立ち、r=2 の場合にはより鋭い境界 2(n−1) ≤ pw(N_{n,2}) ≤ 3(n−1) が得られる。
• 正規部分群に対する最大条件を満たす有限生成可解群は、有限な回文的幅を持つことが定理2で示された。
• 対称的コホモロジーHS^2(G,A)は、対称的群拡張を分類する。写像h^2: HS^2(G,A) → H^2(G,A)は単射であり、合成Φ∘h^2は全単射である。
• 対称的シュール多重器MS(G) := HS^2(G,ℂ×)は、有限群Gに対して有限群であるが、その位数および古典的シュール多重器M(G)との関係は未解決の問題である。
• ボゴモロフ多重器B_0(G)はシュール多重器M(G)の部分群であり、その対称的シュール多重器MS(G)との潜在的関係は未だ調査されていない。