[論文レビュー] Some Properties of Accretive Operators in Linear 2-Normed Spaces

Harikrishnan Panackal, K. T. Ravindran|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2017

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 3被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、線形2ノルム空間における累積的およびm-累積的作用素の基礎的性質を確立し、収縮写像原理を用いて強累積的作用素方程式の解の存在を証明する。Banachの不動点定理を2ノルム設定に拡張し、有界性および閉性の条件下で、強累積的写像がTx = θの解を有することを示し、像の特徴付けおよび解像度収束への応用を提示する。

ABSTRACT

In this paper we discuss some properties of resolvents of an accretive operator in linear 2-normed spaces, focusing on the concept of contraction mapping and the unique fixed point of contraction mappings in linear 2- normed spaces. Also, we establish the existence of solution of strong accretive operator equation in linear 2-normed spaces.

研究の動機と目的

• 線形2ノルム空間における累積的作用素の解像度および不動点の性質を調査すること。
• 収縮写像および不動点理論を2ノルム空間の枠組みに拡張すること。
• 線形2ノルム空間の有界かつ閉部分集合において、強累積的作用素方程式の解の存在を確立すること。
• (I+T) が全射である条件の下で、強累積的作用素Tの像を特徴付けること。

提案手法

• すべてのλ>0およびz∈Xに対して不等式 ‖x−y,z‖ ≤ ‖(x−y)+λ(Tx−Ty),z‖ を用いて、線形2ノルム空間における累積的およびm-累積的作用素を定義する。
• 解像度作用素 Jₙ(x) = (I + n⁻¹T)⁻¹(x) および Yosida近似 Tₙ(x) = n(I − Jₙ)(x) を導入する。
• 解像度 (I+λT)⁻¹ が非拡大的であることを証明し、Tₙ がリプシッツ連続で定数2nを満たすことを示す。
• T が強累積的であり、(I+T)(E) ⊇ E であるならば、(I+T)⁻¹ が収縮写像であることを確立する。
• 逐次収束性および有界性を用いて、E の閉包に属する x に対して n→∞ のとき Jₙx → x であることを示す。
• 2ノルム空間における一般化されたBanach不動点定理を用いて、収縮写像に対して一意な不動点の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形2ノルム空間における強累積的作用素Tが、Tx = θ の解をいつ有するか。
• RQ2 収縮写像原理は線形2ノルム空間に拡張可能か。また、反復列の収束を保証する条件は何か。
• RQ3 2ノルム空間において、解像度 (I+λT)⁻¹ およびYosida近似 Tₙ がどのような性質を有するか。
• RQ4 閉かつ有界な集合上で (I+T) が全射であるとき、強累積的作用素Tの像はどのように関連するか。

主な発見

• 任意の累積的作用素Tに対して、線形2ノルム空間における解像度 (I+λT)⁻¹ は存在し、非拡大的である。
• Yosida近似 Tₙ は、すべてのx,y,z∈Xに対して ‖Tₙx−Tₙy,z‖ ≤ 2n‖x−y,z‖ を満たす。
• 有界かつ閉部分集合Eに対して、すべてのx∈cl(E) に対して n→∞ のとき Jₙx は x に収束する。
• 線形2ノルム空間の閉かつ有界部分集合Eに定義された収縮写像Tは、一意な不動点を有する。
• T が強累積的であり、(I+T)(E) ⊇ E であるならば、方程式 Tx = θ はEに解を有する。
• T が強累積的であり、(I+T)(E) = E であるならば、T の像はちょうどEである、すなわち R(T) = E である。