[論文レビュー] Some properties of Generalized Fibonacci difference bounded and $p$-absolutely convergent sequences

Anupam Das, Bipan Hazarika|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 6被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、一般化フィボナッチ差分行列 $ \hat{F}(r,s) $ を用いて新しいシーケンス空間 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ を導入し、その包含関係を確立し、$ \alpha $-, $ \beta $-, および $ \gamma $-双対を計算し、行列変換を特徴づけ、$ 1 < p < \infty $ の場合にこの空間がバナッハ＝セーケス型 $ p $ および弱固定点性質を有することを示している。これは、$ \ell_p $ との線形同型性を活用することで得られる。主な貢献は、フィボナッチ行列から導かれるこの新規なシーケンス空間の幾何学的および構造的解析にあり。

ABSTRACT

The main objective of this paper is to introduced a new sequence space $l_{p}(\hat{F}(r,s)),$ $ 1\leq p \leq \infty$ by using the band matrix $\hat{F}(r,s).$ We also establish a few inclusion relations concerning this space and determine its $α-,β-,γ-$duals. We also characterize some matrix classes on the space $l_{p}(\hat{F}(r,s))$ and examine some geometric properties of this space.

研究の動機と目的

• 一般化フィボナッチ数から導かれるバンド行列 $ \hat{F}(r,s) $ を用いて、新しいシーケンス空間 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ を定義すること。
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ と古典的シーケンス空間との間の包含関係を確立すること。
• $ \alpha $-, $ \beta $-, および $ \gamma $-双対を計算し、行列変換の特徴づけを可能にすること。
• $ 1 < p < \infty $ の場合に、バナッハ＝セーケス型 $ p $ や弱固定点性質といった幾何的性質を $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ で調査すること。

提案手法

• フィボナッチ数 $ f_n $ を用いて一般化フィボナッチ差分行列 $ \hat{F}(r,s) $ を定義し、$ f_{nk}(r,s) = s\frac{f_{n+1}}{f_n} $（$ k=n $ の場合）、$ r\frac{f_n}{f_{n-1}} $（$ k=n-1 $ の場合）、それ以外は 0 とする。
• $ \ell_p^{\hat{F}(r,s)} = \{ x \in \omega : \hat{F}(r,s)x \in \ell_p \} $ として、シーケンス空間 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ を行列の定義域として導入し、完備性とノルム構造を保証する。
• 関数解析の標準的手法を用い、和分条件および行列変換の特徴づけを通じて、$ \alpha $-, $ \beta $-, および $ \gamma $-双対を計算する。
• $ \hat{F}(r,s) $ の性質を用いて、$ \ell_p $, $ c_0 $, $ \ell_\infty $ などの古典的空間と比較することで、包含定理を確立する。
• 標準基底 $ \{e^{(n)}\} $ を用いて $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ のシュレーディンガー基底を構成し、その完備性とシュレーディンガー基底の性質を証明する。
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ と $ \ell_p $ の間の線形同型性を用い、既知のバナッハ＝セーケス型 $ p $ および弱固定点性質に関する結果を適用することで、幾何的性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 新しく定義された空間 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ と $ \ell_p $, $ c_0 $, $ \ell_\infty $ などの古典的シーケンス空間との間の包含関係は何か？
• RQ2 空間 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ の $ \alpha $-, $ \beta $-, および $ \gamma $-双対は何か？
• RQ3 どの行列クラスが $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ を他のシーケンス空間へ写像するか？ そしてそれらはどのように特徴づけられるか？
• RQ4 $ 1 < p < \infty $ の場合に $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ はバナッハ＝セーケス型 $ p $ を有するか？
• RQ5 $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ は弱固定点性質を有するか？ また、ガルシア＝ファルセト係数 $ R(l_p(\hat{F}(r,s))) $ の値は何か？

主な発見

• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ は、行列 $ \hat{F}(r,s) $ によって誘導されるノルムを備えたバナッハ空間であり、$ \ell_p $ と線形同型であるため、重要な幾何的性質を保存する。
• $ \alpha $-, $ \beta $-, および $ \gamma $-双対は、行列要素の和分条件を用いて完全に特徴づけられている。
• $ 1 < p < \infty $ の場合に、$ l_p(\hat{F}(r,s)) $ はバナッハ＝セーケス型 $ p $ を有する。これは、弱収束列が存在する任意の列に対して、その部分列のケロウリ平均が高々 $ (n+1)^{1/p} $ の割合で増加することを意味する。
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ は弱固定点性質を満たす。実際、$ R(l_p(\hat{F}(r,s))) = 2^{1/p} < 2 $ であるため、非拡大写像に対して固定点が存在することが保証される。
• $ l_p(\hat{F}(r,s)) $ のシュレーディンガー基底は標準基底 $ \{e^{(n)}\} $ であり、この空間は分離可能かつ完備である。
• 包含関係の結果として、$ 1 \leq p < \infty $ の場合に $ l_p(\hat{F}(r,s)) \subset \ell_p $ が成り立ち、$ r $ と $ s $ に関する特定の条件下では $ \ell_p \subset l_p(\hat{F}(r,s)) $ も成り立つ。