[論文レビュー] Some Properties of the Generalized Stuttering Poisson Distribution and its Applications

Huiming Zhang, Lili Chu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2012

Probability and Risk Models参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、ステッタリング・ポisson分布（SPD）の拡張として一般化ステッタリング・ポisson分布（GSPD）を導入し、累積モーメントに基づくパrameter推定法を導出し、ポアソン分布、ネガティブ・バイノミアル分布、および三重SPDモデルと比較して、自動車保険の損害件数データへの適合性が優れていることを示している。主な貢献は、過分散でゼロが過剰に発生する損害件数頻度データのモデリング精度を向上させる一貫性のある累積モーメント推定手法の確立である。

ABSTRACT

Based on the probability generating function of stuttering Poisson distribution (SPD), this paper considers some equivalent propositions of SPD. From this, we show that some distributions in the application of non-life insurance actuarial science are SPD, such as negative binomial distribution, compound Poisson distribution etc.. By weakening condition of equivalent propositions of SPD, we define the generalized SPD. We consider cumulant estimation of generalized SPD's parameters. As an application, we use SPD with four parameters (4-th SPD) to fit auto insurance claim data. The fitting results show that 4-th SPD is more accurate than negative binomial and Poisson distribution.

研究の動機と目的

• ステッタリング・ポアソン分布（SPD）の構造的制約を緩和することで、一般化された形（GSPD）への拡張を図ること。
• 累積モーメントに基づくGSPDパrameter推定法を開発し、累積モーメントと分布パラメータとの間の線形関係を活用すること。
• 実際の自動車保険損害件数データへの四パラメータSPD（4-th SPD）の適合性を評価すること、特にゼロが過剰に発生し過分散である損害件数頻度に対して焦点を当てる。
• GSPDが非生保険の精算的応用において、ポアソン分布やネガティブ・バイノミアル分布といった伝統的なモデルよりも優れた統計的適合性を示すことを実証すること。

提案手法

• 確率質量関数のパラメータに対する厳密な正の制約および正規化制約を緩和することで、一般化ステッタリング・ポアソン分布（GSPD）を定義し、より広範な適用可能性を実現すること。
• GSPDの確率生成関数（PGF）を導出し、Faà di Brunoの公式を用いて、累積モーメントおよび多項式展開を用いて分布の確率質量関数を表現すること。
• 可逆なバーディング行列（Vandermonde行列）を介して、標本累積モーメントと分布パラメータとの間の線形方程式系を確立し、一貫性のあるパラメータ推定を可能にすること。
• リーマン型の再帰式（例：Leibniz型）を用いて、高次元のインデックスの和を取る必要なく確率を効率的に計算することで、計算の実行可能性を向上させること。
• モーメントおよび累積モーメント推定技術を用いて、4-th SPDのパラメータを推定し、標本モーメントおよび累積モーメントを用いて重みαiを解くこと。
• 観測された損害件数と当てはめられた件数頻度との間に、ピアソンのカイ二乗検定を適用し、競合する分布（ポアソン、NBD、3-SPD、4-SPD）の適合度を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ステッタリング・ポアソン分布は、確率的構造を保ちつつ、より柔軟なパラメータ制約を許容する形に一般化可能か？
• RQ2 累積モーメントは、一般化ステッタリング・ポアソン分布のパラメータを一貫して推定するためにどのように利用可能か？
• RQ3 四パラメータステッタリング・ポアソン分布（4-th SPD）は、ポアソン分布、ネガティブ・バイノミアル分布、または三重SPDモデルと比較して、実際の自動車保険損害件数データに対して顕著に優れた適合性を示すか？
• RQ4 4-th SPDの推定パラメータは、顧客1人あたり複数の保険契約を持つ確率といった現実的な損害行動をどの程度反映しているか？

主な発見

• 4-th SPDは自動車保険損害件数データへの適合性が最良であり、ピアソンのカイ二乗検定統計量は2.8963であった。これはネガティブ・バイノミアル分布（10.1294）、三重SPD（12.5786）、ポアソン分布（345.1250）と比較して顕著に低い値であった。
• 累積モーメントに基づく推定法は一貫性があることが示された。大数の法則に従い、標本累積モーメントが母集団累積モーメントに収束するためである。
• 4-th SPDの推定パラメータから、顧客のうち0.34％が4つの契約を持つ（α4 = 0.00034）ことが示され、2.7％が2つの契約を持つ（α2 = 0.02703）ことが判明した。これは現実の損害クラスタリング行動を的確に反映している。
• ネガティブ・バイノミアル分布は三重SPDより優れていたが、4-th SPDよりは劣っており、これは1回のイベントで最大4件の損害が発生するような高次のクラスタリングが必要であることを示している。
• 4-th SPDモデルのdeviance（η = 2.8963）はポアソンモデル（η = 345.1250）と比べて著しく低く、ポアソン分布がこのゼロが過剰に発生し過分散であるデータセットに対して不適切であることを確認した。
• 本研究は、ネガティブ・バイノミアル分布や複合ポアソン過程といった分布が、一般化ステッタリング・ポアソン分布の特別な場合であることを確認した。これにより、理論的基盤の妥当性が裏付けられた。