[論文レビュー] Some properties of the group of regular birational maps

Julie Déserti|arXiv (Cornell University)|Mar 3, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、標準的対合および $ \mathbb{P}^n_\mathbb{C} $ の自己同型によって生成される群 $ G_n(\mathbb{C}) $ を調査し、それが非自明な有限次元線形表現をもたず、完全群であり、ザリスキ位相のもとで単純群であることを証明している。さらに、$ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ の任意の自己同型は、双有理的共轭および体自己同型の意味で、$ G_n(\mathbb{C}) $ に自明に作用することを示している。

ABSTRACT

We give some properties of the subgroup $G_n(\mathbb{C})$ of the group of birational self-maps of $\mathbb{P}^n_\mathbb{C}$ generated by the standard involution and the group of automorphisms of $\mathbb{P}^n_\mathbb{C}$. We prove that there is no nontrivial finite-dimensional linear representation of $G_n(\mathbb{C})$. We also establish that $G_n(\mathbb{C})$ is perfect, and that $G_n(\mathbb{C})$ equipped with the Zariski topology is simple. Furthermore if $\varphi$ is an automorphism of $\mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C})$, then up to birational conjugacy, and up to the action of a field automorphism $\varphi_{\vert G_n(\mathbb{C})}$ is trivial.

研究の動機と目的

• 複比自己写像の部分群 $ G_n(\mathbb{C}) $ の代数的および位相的構造を分析すること。
• $ G_n(\mathbb{C}) $ が非自明な有限次元線形表現をもつかどうかを特定すること。
• ザリスキ位相のもとでの $ G_n(\mathbb{C}) $ の単純性および完全性を調査すること。
• 全複比群 $ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ の自己同型を分類し、$ G_n(\mathbb{C}) $ への制限に焦点を当てる。

提案手法

• $ G_n(\mathbb{C}) $ の構造を解析するための群論的技法の使用、標準的対合および $ \mathrm{PGL}(n+1,\mathbb{C}) $ によって生成される。
• $ G_n(\mathbb{C}) $ の非自明な有限次元線形表現の非存在を示すために表現論の応用。
• その交換子部分群と等しいことを示すことにより、$ G_n(\mathbb{C}) $ が完全群であることを証明。
• ザリスキ位相を用いた位相的解析により、$ G_n(\mathbb{C}) $ が単純群であることを確立。
• 双有理的共轭および体自己同型を用いて、$ G_n(\mathbb{C}) $ 上での自己同型の作用を分類。
• 自己同型問題を、双有理的共轭および体自己同型を除いて自明性に還元。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ G_n(\mathbb{C}) $ は非自明な有限次元線形表現をもつか？
• RQ2 $ G_n(\mathbb{C}) $ は完全群であるか、すなわちその交換子部分群と等しいか？
• RQ3 ザリスキ位相を備えた $ G_n(\mathbb{C}) $ は単純群か？
• RQ4 体自己同型および双有理的共轭を除いて、$ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ の自己同型 $ \varphi $ は $ G_n(\mathbb{C}) $ にどのように作用するか？

主な発見

• $ G_n(\mathbb{C}) $ は非自明な有限次元線形表現をもたない。
• $ G_n(\mathbb{C}) $ は完全群であり、すなわちその交換子部分群と等しい。
• ザリスキ位相を備えた $ G_n(\mathbb{C}) $ は単純群である。
• 任意の $ \mathrm{Bir}(\mathbb{P}^n_\mathbb{C}) $ の自己同型 $ \varphi $ は、双有理的共轭および体自己同型を除いて、$ G_n(\mathbb{C}) $ に自明に作用する。
• $ G_n(\mathbb{C}) $ の構造は、その自己同型群が強く制約されているという意味で剛性を示している。