[論文レビュー] Some Properties of the Schur Multiplier with Algebraic Topological Approach

Behrooz Mashayekhy, Hanıeh Mırebrahımı|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2010

Advanced Topics in Algebra参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、エイレンバーグ＝マクレイン空間、ホモロジー、ホモトピー群を用いて、シュール乗数の古典的性質に対する代数的位相的証明を提示する。また、自由結合積のシュール乗数をその因子の乗数とアーベル化に基づいて記述する新しい完全系列を導入する。

ABSTRACT

In this paper, using a relationship between the Schur multiplier of a group $G$, the fundamental group, and the second homology group of the Eilenberg-MacLane space of $G$, we present new proofs for some famous properties of the Schur multiplier and its structure for the free product and the direct product with an algebraic topological approach. Also, we try to find the Schur multiplier of a free amalgamated product in terms of Schur multipliers of its factors, which is a new result.

研究の動機と目的

• ホモトピー群およびホモロジー群を用いて、シュール乗数のよく知られた性質に対する新しい代数的位相的証明を提供すること。
• シュール乗数とエイレンバーグ＝マクレイン空間の第二ホモロジー群との関係を確立すること。
• 自由結合積のシュール乗数について、その因子の乗数とアーベル化に基づく新しい完全系列を導出すること。
• 直積および自由積に関する既知の結果を、自由結合積の状況に一般化すること。

提案手法

• Eilenberg-MacLane空間 $K(G,1)$ を用い、$G$ を $\pi_1(K) \to G$ かつ $n \geq 2$ に対して $\pi_n(K) = 1$ を満たす空間として実現する。
• Hopfの公式を適用し、$G$ の自由提示 $F/R$ に対して $H_2(K) \cong (R \cap F')/[R,F]$ であることを用いて $M(G) \cong H_2(K)$ を特定する。
• Hurewicz同型を用い、$H_1(K) \cong G_{\text{ab}}$ および $H_2(K) \cong M(G)$ を関連付ける。
• CW複体のメイヤー＝ビートリス系列を用いて、空間の楔和および和集合の $H_2$ を解析する。
• K"unneth公式を適用し、$H_2(K_1 \times K_2)$ をテンソル積およびTor項に分解して計算する。
• Eilenberg-MacLane空間 $Y$（$H$ に対して）を満たす $X_1 \cup X_2$ 上のメイヤー＝ビートリス系列を用いて、自由結合積 $G = G_1 *_H G_2$ のシュール乗数について新しい完全系列を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的なシュール乗数の性質は、代数的位相を用いてどのように再証明できるか？
• RQ2 自由結合積 $G = G_1 *_H G_2$ のシュール乗数の構造は何か？
• RQ3 $G_1$, $G_2$, $H$ のシュール乗数は、自由結合積における $M(G)$ とどのように関係するか？
• RQ4 自由結合積において $M(G) \cong M(G_1) \oplus M(G_2)$ が成り立つのはどのような条件下か？
• RQ5 メイヤー＝ビートリス系列を用いて、$M(G)$ が $M(G_1)$, $M(G_2)$, $M(H)$ の関数として一般に表せるか？

主な発見

• $k$ 個の関係式を持つ群 $G$ のシュール乗数 $M(G)$ は、$H_2(K)$ が高々 $k$ 個の生成元を持つことから、$d(M(G)) \leq k$ を満たす。
• 任意の巡回群のシュール乗数は自明であり、$H_2(S^1) = 0$ および $H_2(L(n,1)) = 0$（レンズ空間）であることから成り立つ。
• 自由積に対しては、$M(G_1 * G_2) \cong M(G_1) \oplus M(G_2)$ が成り立ち、これは楔 $K_1 \vee K_2$ 上のメイヤー＝ビートリスにより証明される。
• 直積に対しては、$M(G_1 \times G_2) \cong M(G_1) \oplus M(G_2) \oplus G_{1,\text{ab}} \otimes G_{2,\text{ab}}$ が、K"unneth公式から導かれる。
• 新しい完全系列が確立された：$M(H) \to M(G_1) \oplus M(G_2) \to M(G) \to H_{\text{ab}} \to G_{1,\text{ab}} \oplus G_{2,\text{ab}} \to G_{\text{ab}} \to 0$（$G = G_1 *_H G_2$ の場合）。
• もし $H$ が完全群であり $M(H) = 0$ ならば、$M(G) \cong M(G_1) \oplus M(G_2)$ が成り立つ。これは乗数が分解するための十分条件を提供する。