[論文レビュー] Some properties of the symbol algebras

Diana Savin, Cristina Flaut+1 more|ArXiv.org|Jun 15, 2009

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、$p$-進付値とアーティン記号を用いて、局所体上での記号代数の構造と分割挙動を調査する。特に、形式 $\left(\frac{\alpha,\beta}{K,\zeta}\right)$ の $K_v$-巡回的中心単純代数について、三次体拡張における素イデアルの分解とノーマル群の分析を通じて、その代数が除法代数であるための必要十分条件を確立する。主な結果として、$p$ と立方剰余記号に関する特定の条件下で、$p^{3l}$ がノーマルであり、局所アーティン記号が自明であることが示される。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some properties of the symbol algebras, starting from their connections with the quaternion and cyclic algebras over a field $K_{p},$% where $K$ is an algebraic number field, $p$ is a prime in $K$ and $K_{p}$ is the completion of $K$ with respect to $p-$ adic valuation, in the case when $K=\Bbb{Q}(\varepsilon), \varepsilon ^{3}=1,\varepsilon eq 1.$

研究の動機と目的

• $K_v$-巡回的中心単純代数 $A = \left(\frac{\alpha,\beta}{K,\zeta}\right)$ が除法代数であるための必要十分条件を特定すること。
• 代数的数論の道具を用いて、四元数代数の理論を高次元の記号代数へと拡張すること。
• 特に三次体拡張における、局所体上での記号代数の分割挙動を分析すること。
• アーティン記号とノーマル群を用いて、このような代数が分割されるか、除法代数であるかを特定すること。

提案手法

• $K$ を数体とし、その $p$-進完備化 $K_v$ を用いて記号代数の局所的挙動を研究する。
• $K(\sqrt[3]{\alpha})$ における分割挙動を特定するため、立方剰余記号 $\left(\frac{\alpha}{p\mathbb{Z}[\varepsilon]}\right)_3$ を適用する。
• アーティン記号 $\left(\frac{L_P/K_v}{(p^{3l})}\right)$ を含む、クラス体論の道具を用いて、ガロア作用とノーマル群を分析する。
• $\mathbb{Z}[\varepsilon]$ および $\mathbb{A}$（$L = K(\sqrt[3]{\alpha})$ の整数環）における素イデアルの分解を用いて、$e, f, g$ を計算し、局所拡張を特定する。
• 定理 1.10 を適用して、立方剰余記号が非自明である場合に $p^{3l} \in N_{L_P/K_{p_1}}(L_P^*)$ が成り立つことを検証する。
• 定理 1.11 および命題 3.1 を適用して、$L_P = K_{p_1}$ または $f=3$ の場合にアーティン記号が自明であることを示し、これにより代数が除法代数でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $K = \mathbb{Q}(\varepsilon)$ および $p \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、$K_v$-代数 $\left(\frac{\alpha, p^{3l}}{K, \varepsilon}\right)$ が除法代数であるのはどのような条件下か？
• RQ2 $p^{3l}$ が三次体拡張 $L = K(\sqrt[3]{\alpha})$ の完備化 $L_P^*$ の乗法群からのノーマルであるのはいつか？
• RQ3 立方剰余記号 $\left(\frac{\alpha}{p_1\mathbb{Z}[\varepsilon]}\right)_3$ は記号代数の分割にどのように影響を与えるか？
• RQ4 ガロア群 $\text{Gal}(L_P/K_v)$ 内での局所アーティン記号 $\left(\frac{L_P/K_v}{(p^{3l})}\right)$ の挙動はいかなるものか？
• RQ5 拡張 $L_P/K_v$ がいつ自明になるのか、そしてその影響は代数の構造にどのように現れるか？

主な発見

• $p \equiv 2 \pmod{3}$ のとき、素数 $p$ は $\mathbb{Z}[\varepsilon]$ で素数のままであり、$p^{3l}$ は $L_P^*$ からのノーマルであり、局所アーティン記号は自明である。
• $p \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、素数 $p$ は $\mathbb{Z}[\varepsilon]$ 内で三つの異なる素数 $p_1, p_2$ に分解され、その挙動は $\alpha$ の $p_1$ における立方剰余記号に依存する。
• $\left(\frac{\alpha}{p_1\mathbb{Z}[\varepsilon]}\right)_3 \neq 1$ ならば、$g=1$, $f=3$ であり、$p^{3l} \in N_{L_P/K_{p_1}}(L_P^*)$ となるため、代数は除法代数でない。
• $\left(\frac{\alpha}{p_1\mathbb{Z}[\varepsilon]}\right)_3 = 1$ ならば、$g=3$, $e=f=1$ であり、$L_P = K_{p_1}$ となる。このときアーティン記号は自明であり、再び代数は除法代数でない。
• 解析されたすべてのケースにおいて、局所アーティン記号 $\left(\frac{L_P/K_v}{(p^{3l})}\right)$ は恒等写像であり、代数が局所的に分割されることを示している。
• 本稿は、$p \equiv 1 \pmod{3}$ のとき、自明なアーティン記号とノーマル条件のため、$A = \left(\frac{\alpha, p^{3l}}{K, \varepsilon}\right)$ が $K_{p_1}$ 上で除法代数でないことを確立している。