[論文レビュー] Some quantitative results in $C^0$ symplectic geometry

Lev Buhovsky, Emmanuel Opshtein|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、$\mathcal{C}^0$ におけるシンプレクティック幾何学において鋭い二分法を確立する：codimension-4 のシンプレクティック部分多様体については、$\mathcal{C}^0$-小な方法でシンプレクティック構造を保ちつつ柔軟に変形可能である一方、codimension-2 の部分多様体については、グロモフの幅のようなシンプレクティック容量を保存しなければならないという剛性が成立する。主な道具は、シンプレクティック円板における定量的 $h$-原理であり、これは $\mathcal{C}^0$-小なハミルトニアン・フローが、軌道の直径を制御できるように、シンプレクティック同倫を実現できることを保証する。

ABSTRACT

This paper studies the action of symplectic homeomorphisms on smooth submanifolds, with a main focus on the behaviour of symplectic homeomorphisms with respect to numerical invariants like capacities. Our main result is that a symplectic homeomorphism may preserve and squeeze codimension $4$ symplectic submanifolds ($C^0$-flexibility), while this is impossible for codimension $2$ symplectic submanifolds ($C^0$-rigidity). We also discuss $C^0$-invariants of coistropic and Lagrangian submanifolds, proving some rigidity results and formulating some conjectures. We finally formulate an Eliashberg-Gromov $C^0$-rigidity type question for submanifolds, which we solve in many cases. Our main technical tool is a quantitative $h$-principle result in symplectic geometry.

研究の動機と目的

• シンプレクティック微分同相写像の $\mathcal{C}^0$ 位相における滑らかな部分多様体への作用を調査すること。
• シンプレクティック不変量（容量など）が、シンプレクティック微分同相写像の $\mathcal{C}^0$-極限において保存されるかどうかを特定すること。
• $\mathcal{C}^0$-剛性と $\mathcal{C}^0$-柔軟性の境界を、特に異なるcodimensionを持つ部分多様体に対して明確にすること。
• エリャーシェブ＝グロモフの定理に類似した $\mathcal{C}^0$-剛性問題を定式化し、それを解くこと。
• シンプレクティック同倫を実現する $\mathcal{C}^0$-小なハミルトニアン・フローのサイズを制御する定量的 $h$-原理を確立すること。

提案手法

• 二つのシンプレクティック円板が、軌道の直径が小さいホモトピーのもとで $\mathcal{C}^0$-近接している場合に、$\mathcal{C}^0$-小なハミルトニアン・フローがその同倫を実現できることを保証する、シンプレクティック円板における定量的 $h$-原理を開発すること。
• 定量的 $h$-原理を用いて、codimension-4 のシンプレクティック部分多様体（例えば多円柱）上でスケーリング恒等写像として作用するシンプレクティックホメオモルフィズムを構成すること。
• 標準的近傍定理を用いて、局所的な柔軟性の結果を、グローバルなシンプレクティック多様体へ拡張すること。
• codimension-2 のシンプレクティック部分多様体に対する剛性を証明するため、シンプレクティックホメオモルフィズムが非圧縮性を保存すること、すなわち開集合 $U \subset N$ に対して $c^Z(h(U)) \geq c_B(U)$ を示すこと。
• 局所モデルとシンプレクティック線形代数を用いて、問題をホメオモルフィズムの微分が接空間上でどのように作用するかに還元し、それがシンプレクティックまたは反シンプレクティックでなければならないことを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シンプレクティックホメオモルフィズムは、シンプレクティック微分同相写像では不可能な方法で、滑らかなシンプレクティック部分多様体を保存しながら変形可能であろうか？
• RQ2 滑らかでシンプレクティックな像を持つとしても、シンプレクティックホメオモルフィズムの滑らかな部分多様体への制限は、必ずしもシンプレクティックでなければならないのか？
• RQ3 グロモフの幅やシリンダリック容量などのシンプレクティック容量は、シンプレクティック微分同相写像の $\mathcal{C}^0$-極限においても不変のままであろうか？
• RQ4 $\mathcal{C}^0$-シンプレクティックな柔軟性が剛性に移行する、正確なcodimensionの閾値は何か？
• RQ5 もし同倫の軌道直径が一様に有界であれば、$\mathcal{C}^0$-小なハミルトニアン・フローが二つのシンプレクティック円板間のシンプレクティック同倫を実現可能であろうか？

主な発見

• シンプレクティックホメオモルフィズムは、codimension-4 のシンプレクティック部分多様体（例えば多円柱）上で $\frac{1}{2}$-スケーリングとして作用しつつも、$\mathcal{C}^0$-小のままであるため、$\mathcal{C}^0$-柔軟性を示している。
• codimension-2 のシンプレクティック部分多様体では、シンプレクティックホメオモルフィズムの制限が非圧縮性を保存しなければならない。つまり、サイズ $a$ のシンプレクティック球がサイズ $A$ のシリンダに写されるならば、$A \geq a$ であり、$c^Z(h(U)) \geq c_B(U)$ が成り立つ。
• 定量的 $h$-原理により、軌道直径が一様に有界な任意のシンプレクティック同倫は、その同倫の直径の2倍未満の軌道直径を持つ $\mathcal{C}^0$-小なハミルトニアン・フローによって実現可能であることが保証される。
• コイソトロピックまたはラグランジュ部分多様体へのシンプレクティックホメオモルフィズムの制限の微分は、シンプレクティックまたは反シンプレクティックでなければならない。これは、線形レベルでのシンプレクティック構造を保存することを意味する。
• エリャーシェブ＝グロモフの定理に類似した $\mathcal{C}^0$-剛性問題に対する肯定的解答は、定量的 $h$-原理から導かれる。これにより、部分多様体上でのシンプレクティック微分同相写像の $\mathcal{C}^0$-極限が、自身もシンプレクティックであることが示される。
• 本論文は、$\mathcal{C}^0$-剛性が codimension-4 のシンプレクティック部分多様体では成立せず、codimension-2 では成立することを証明し、鋭い次元の閾値を確立した。