[論文レビュー] Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit functions theorems

Phan Phien|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2012

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、点における一般化ヤコビ行列を用いて、Clarkeのリプシッツ逆関数定理および陰関数定理の定量的見積もりを提供する。具体的には、逆写像のリプシッツ定数と可逆性の近傍を明示的に評価し、Clarkeの定理を満たす写像のクラスが小さなリプシッツ摂動に対して開であることを示し、最適化や非線形解析への応用に向けた構成的で計算可能な境界を提示する。

ABSTRACT

Let $ f: \mathbb{R} ^ n ightarrow \mathbb{R}^n $ be a Lipschitz mapping with generalized Jacobian at $x_0$, denoted by $\partial f(x_0)$, is of maximal rank. F. H. Clarke (1976) proved that $f$ is locally invertible. In this paper, we give some quantitative assessments for Clarke's theorem on the Lipschitz inverse, and prove that the class of such mappings are open. Moreover, we also present a quantitative form for Lipschitz implicit function theorem.

研究の動機と目的

• Clarkeの逆関数定理における可逆性の近傍と逆写像のリプシッツ定数について、明示的かつ定量的な見積もりを提供すること。
• これらの見積もりを、リプシッツ陰関数定理の定量的形に拡張すること。
• Clarkeの逆関数定理を満たす写像のクラスが、小さなリプシッツ摂動に対して開であることを証明すること。
• 非滑らか状況における逆関数定理および陰関数定理について、構成的かつ計算可能な境界を提供し、従来の定性的結果のギャップを埋めること。

提案手法

• 本稿は、リプシッツ写像 f: ℝⁿ → ℝⁿ の局所的可逆性を特徴付けるために、一般化ヤコビ行列 ∂f(x₀) を用いる。
• 行列ノルムの不等式と可逆行列の摂動論理（定理2.2を用いて）を適用し、逆写像のリプシッツ定数に対する境界を導出する。
• 点 x₀ と f(x₀) の近傍 U と V は、∂f(x₀) 上での逆行列ノルムの下界と f のリプシッツ定数を用いて明示的に推定される。
• リプシッツ写像と一般化ヤコビ行列を伴う文脈において、固定点の議論に帰着することで、定量的陰関数定理を導出する。
• f の小さなリプシッツ摂動が ∂f(x₀) の最大ランクを破壊しないことを示すことにより、Clarkeの定理を満たす写像のクラスの開性を証明する。
• 解析は、行列ノルムの性質、部分微分の凸包、および逆行列ノルムの公式 ‖M⁻¹‖ = 1 / min‖x‖=1 ‖Mx‖ に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般化ヤコビ行列 ∂f(x₀) が与えられたとき、リプシッツ写像 f が局所的に可逆となる近傍 U と V のサイズを明示的かつ計算可能な境界でどのように評価できるか。
• RQ2 一般化ヤコビ行列 ∂f(x₀) から、逆写像のリプシッツ定数を定量的にどのように推定できるか。
• RQ3 一般化ヤコビ行列を用いて、リプシッツ陰関数定理の定量的形を導出できるか。
• RQ4 小さなリプシッツ摂動に対して、Clarkeの逆関数定理を満たす写像のクラスが開である条件は何か。
• RQ5 摂動のリプシッツ定数が元の写像の下側リプシッツ定数 K を超えると、局所的可逆性はどのように変化するか。

主な発見

• 逆写像 g は、L(g) = 1/δ で与えられるリプシッツ定数を持つ。ここで δ = ½ inf_{M₀∈∂f(x₀)} 1/‖M₀⁻¹‖ である。
• 点 x₀ の近傍 U は、Bⁿ_{(rδ)/(2(K′+L))}(x₀) として推定され、r = 1 かつ 上記と同様に δ が定義される。
• 像の近傍 V は f(x₀) + (rδ/2)Bⁿ で与えられ、したがって V = Bⁿ_{rδ/2}(f(x₀)) である。
• Clarkeの定理を満たす写像のクラスは開である：f が h で摂動され、かつ sup_{H∈∂h(x₀)}‖H‖ < 1 / sup_{M₀∈∂f₀(x₀)}‖M₀⁻¹‖ を満たすならば、f+h も局所的に可逆である。
• f₀(x,y) = (|x|+2x, |y|+2y) の例では、逆写像は B²_{1/7}((0,0)) で局所的に定義され、リプシッツ定数は 1 である。
• 摂動 h がリプシッツ定数 L > K（K は f₀ の下側リプシッツ定数）を持つ場合、一般化ヤコビ行列は最大ランクを失い、局所的可逆性は成立しなくなる。