[論文レビュー] Some questions about $\mathcal G$-bundles on curves

G. Pappas, Michael Rapoport|ArXiv.org|Aug 27, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、曲線上の $G$-バンドルのモジュライ理論を、構造群が曲線上のパラホリック群スキーム $\sigma$ である $τ$-バンドルへ一般化する。これは、古典的な $G$-バンドルに関する結果を非定数の再帰的群スキームへ拡張するものである。主な貢献は、局所的なアフィンフラッグ多様体上のテンソル積の不変部分空間として表される、モジュライスタック上の支配的ラインバンドルの全切断空間に対する、予想的な公式である。この公式は、コンフォーマルブロックやヴェルリンデ型の公式と関連している。

ABSTRACT

We define the notion of a parahoric group scheme $\mathcal G$ over a smooth projective curve, and formulate four conjectures on the structure of the stack of $\mathcal G$-bundles, which generalize to this case well-known results on $G$-bundles with $G$ a constant reductive group. The conjectures concern the set of connected components, the uniformization by affine flag varieties of twisted loop groups, the Picard groups, and the space of global sections of a dominant line bundle. Since a first version of this paper was circulated, Heinloth [arXiv:0711.4450] has proved a good part of these conjectures.

研究の動機と目的

• 曲線上の $G$-バンドルのモジュライスタック理論を、特に曲線上のパラホリック群スキームに対する非定数再帰的群スキームへ拡張すること。
• パラホリック群スキーム $\mathcal{G}$ に対する $σ$- torsor のモジュライスタック上の支配的ラインバンドルの全切断空間に関する、グローバルな幾何的予想を提示すること。
• 古典的な結果（例えばヴェルリンデの公式や融合規則）をパラホリック群スキームの設定へ一般化するための枠組みを提供すること。
• ループ群理論とアフィンフラッグ多様体を介して、グローバルなモジュライスタックの幾何と局所的構造を結びつけること。
• マークされた点の集合 $S$ と支配的ウェイトが、この一般化された設定におけるコンフォーマルブロックの構成において果たす役割を明確にすること。

提案手法

• 局所体上の再帰的群 $H$ に対し、$H(k((t)))$ のパラホリック部分群に関連するループ群およびアフィンフラッグ多様体の理論を用いる。
• 各曲線上の点における局所幾何を表すインダクティブ・スキームとしての局所モジュライ空間 ${\mathcal{F}}_P = LH / L^+P$ を構成する。
• 滑らかで射影的な曲線 $X$ 上のパラホリック群スキーム $\mathcal{G}$ に対して、連結なファイバーと再帰的な一般ファイバーをもつ $\mathcal{G}$-torsor のグローバルモジュライスタック $\mathcal{M}_{\mathcal{G}/X}$ を定義する。
• ユニフォーム化定理を用いて、グローバルモジュライスタックをアフィングラスマンィアンの商として関連づけ、ベウヴィル＝ラズロおよびファルティングスの古典的手法を拡張する。
• $H^0(X\setminus S, \text{Lie}(\mathcal{G}))$ の自然な作用を、局所コホモロジー空間のテンソル積に導入し、不変部分空間の構成を生じさせる。
• 中心拡大および中心的荷重の理論を適用して、支配的ラインバンドルを定義し、局所因子間の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非定数再帰的群スキーム、特に曲線上のパラホリック群スキームの場合に、曲線上の $G$-バンドルのモジュライ理論をどのように拡張できるか。
• RQ2 パラホリック群スキームの $σ$-torsor の文脈において、ヴェルリンデの公式の正しい一般化は何か。
• RQ3 この一般化された設定において、グローバルモジュライスタック上のコンフォーマルブロックは、局所的なアフィンフラッグ多様体上のデータとどのように関係するか。
• RQ4 マークされた点の集合 $S$ と中心的荷重が、モジュライスタック上のラインバンドルの全切断空間の構造において果たす役割は何か。
• RQ5 分離的・定数群スキームの場合を超えて、コンフォーマルブロックの融合規則および因子化性質を拡張することは可能か。

主な発見

• 全切断空間 $H^0(\mathcal{M}_{\mathcal{G}/X}, \mathcal{L})$ は、$H^0(X\setminus S, \text{Lie}(\mathcal{G}))$-不変部分空間 $\bigotimes_{x\in S} H^0({\mathcal{F}}_x, p_x^*\mathcal{L})$ に同型であると予想され、古典的なユニフォーム化定理を一般化する。
• ラズロとゾルジャーによって確認された特別な場合にこの予想が成立し、その後のプレプリントでヘインロートにより予想の大部分が証明されている。
• 同型が成り立つためには、$X$ 全体で中心的荷重 $c_{\mathcal{G}/X,x}(\mathcal{L})$ が一定でなければならない。これは局所データの均一性を保証する。
• 各マークされた点 $x \in S$ におけるループ代数の中心拡大における中心的要素を特定することに依存しており、これには $S \supset \text{Bad}(\mathcal{G})$ が必要である。
• 一般のパラホリックの場合には、全切断空間の次元がヴェルリンデ型の公式を満たすと予想されるが、その公式自体はまだ予想の段階である。
• $S$ の拡大に対して結果が安定しており、$S$ を拡大しても不変部分空間が変わらないため、コンフォーマルブロックの因子化性質を反映している。