[論文レビュー] Some questions about the index of quantized contact transformations

Alan Weinstein|ArXiv.org|Aug 5, 1998

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、接触多様体上のCR構造とそのStein被覆上のディラク作用素を結ぶグリューリング予想を介して、量子化された接触微分同相写像の相対インデックスに対する位相的公式を提案する。ハードィ空間（量子ヒルベルト空間）の相対インデックスをグリューディングされた多様体上のディラク作用素のインデックスに結びつけることで、インデックス理論における既知の結果に帰着させ、ディラク作用素のグリューリング定理とドルベール複体を用いたインデックス計算戦略を提示する。

ABSTRACT

An index formula is proposed for contact transformations between contact manifolds equipped with CR structures or with fillings by symplectic manifolds. The formula generalizes the Atiyah-Singer formula and gives a conjectured formula for the index of Fourier integral operators, as well as Epstein's relative index for CR structures.

研究の動機と目的

• 共面束上の接触微分同相写像に関連するフーリエ積分作用素のインデックスに対する位相的公式を確立すること。
• 異なるCR構造における量子ヒルベルト空間（ハードィ空間）の相対インデックスを、境界Yに沿って2つのStein被覆をグリューディングして得られる多様体上のディラク作用素のインデックスに結びつけること。
• Stein被覆上のドルベール＝ディラク作用素を用いて、インデックス問題を既知のインデックス理論の結果に還元すること。
• カルデロン射影子と境界値問題を用いた、グリューリング予想の証明戦略を提示すること。
• 相対インデックス計算の文脈において、正則関数とディラクインデックスの整合性を検討すること。

提案手法

• グリューリング予想を用いて、コンパクトな接触多様体Y上の2つの極化の相対インデックスを、Yに沿って2つのStein被覆をグリューディングして得られる多様体上のディラク作用素のインデックスに同定する。
• ボジャルスキ＝ブーッ＝バーンベック＝ヴォイチェフスキのディラク作用素のグリューリング定理（カルデロン射影子が一致する場合）を適用する。
• Stein被覆X₁およびX₂上のドルベール複体の偶数・奇数部分に、D⁺ = ∂̄ + ∂̄* としてディラク作用素を構成する。
• Y上の複素化接バンドルの同型を用いて、ディラク作用素の境界データの整合性を保証する。
• コーシー・データ空間とその射影の分析を通じて、ハードィ空間の相対インデックスをディラク作用素の相対インデックスに還元する。
• 調和(0,2)-形式が両被覆に等しく寄与することを活用し、相対インデックス計算において相殺されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトな接触多様体上における2つのCR構造の相対インデックスは、そのStein被覆のグリューリング構成を用いて位相的に計算可能か？
• RQ2 異なる極化に関連する量子ヒルベルト空間（ハードィ空間）の相対インデックスは、グリューディングされた多様体上のディラク作用素のインデックスに等しいか？
• RQ3 2つのStein被覆上の正則セクションの相対インデックスは、それらに付随するディラク作用素の相対インデックスに等しいか？
• RQ4 ∂̄u = 0 の解のコーシー・データ空間は、L²(Y) 上の射影作用素とそのフレドホルム性とどのように関係するか？
• RQ5 正則ベクトル場または層論的技法を用いることで、正則エンドの重なりにおける非準同型性の問題はどの程度解消可能か？

主な発見

• 2つの極化の相対インデックスは、それらのStein被覆を境界Yに沿ってグリューディングして得られる多様体上のディラク作用素のインデックスに等しいと予想される。
• カルデロン射影子の主記号が一致する場合、D⁺u = 0 の解のコーシー・データ空間間の直交射影はフレドホルム的である。
• ブーッ＝バーンベックとヴォイチェフスキのグリューリング定理により、同型な境界データを持つ2つのディラク作用素の相対インデックスは、グリューディングされたディラク作用素のインデックスに等しい。
• 複素次元2の場合、コーシー・データ空間は正則関数と調和(0,2)-形式の寄与に分解され、後者は相対インデックスにおいて相殺される。
• X₁およびX₂上のディラク作用素D⁺₁およびD⁺₂の相対インデックスは、それらの正則セクション空間の相対インデックスに等しいと予想される。
• 調和(0,2)-形式の寄与がCR構造に依存しないことから、複素次元2の状況では、相対インデックス計算において相殺され、予想が裏付けられる。