[論文レビュー] Some recent transcendental techniques in algebraic and complex geometry

Yum-Tong Siu|ArXiv.org|Dec 1, 2002

Mathematics and Applications被引用数 29

ひとこと要約

本稿では、$L^2$ $\bar{\nabla}$-推定と乗数イdeアル・シェーブを用いた超越的技法を提示し、代数幾何および複素幾何における3つの主要な問題を解決する：全純変形における多様体の多重汎関数の不変性、$$\mathbb{P}^2$$ 内の滑らかなLevi-フラット超曲面の非存在、および$$\mathbb{P}^n$$ 内の高次元の一般超曲面の双曲性。主な貢献は、ねじれた$\bar{\partial}$-推定を用いて多重正則形式を拡張し、制御された零点の重複度を持つジェット微分形式を構築して双曲性を証明することにあり。

ABSTRACT

This article discusses the recent transcendental techniques used in the proofs of the following three conjectures. (1)~The plurigenera of a compact projective algebraic manifold are invariant under holomorphic deformation. (2)~There exists no smooth Leviflat hypersurface in the complex projective plane. (3)~A generic hypersurface of sufficiently high degree in the complex projective space is hyperbolic in the sense that there is no nonconstant holomorphic map from the complex Euclidean line to it.

研究の動機と目的

• コンpactなプロジェクト型ファミリーの多重汎関数の変形不変性を、$L^2$ $$\bar{\partial}$$-推定と乗数イデアル・シェーブを用いて確立すること。
• $$\bar{\partial}$$-Neumann問題における曲率と$L^2$-推定を用いて、$$\mathbb{P}^2$$ 内の滑らかなLevi-フラット超曲面の非存在を証明すること。
• $$\mathbb{P}^n$$ 内の十分に高い次数の一般超曲面の双曲性を、十分に制御された重複度でアーマー除算に零点を持つ正則ジェット微分形式を構築することで確立すること。
• 変形および埋め込み技法を用いてジェット微分形式の方法を拡張し、零点の重複度を制御することで、整関数曲線の排除を可能にすること。

提案手法

• 正則凸関数からの重みを用いた$L^2$ $$\bar{\partial}$$-推定を用いて、ねじれた正則バンドルのグローバルセクションを構成する。
• Ohsawa-Takegoshiの拡張定理を応用し、中心ファイバーからの正則形式を変形の全空間へ拡張する。
• 正則凸関数の重みに関連する乗数イデアル・シェーブを構築し、特異点を制御し、グローバル生成性を保証する。
• ファミリーの超曲面の全空間上でのジェット微分形式を、ジェットバンドル上の低極位数の有理型ベクトル場を用いて変形する。
• ジェット空間上のねじれた接バンドルを用いて、アーマー除算上で制御された重複度で零点を持つ正則ジェット微分形式を生成する。
• 合成による次数-$$\delta_1$$ マップおよび積埋め込みを含む埋め込み技法を用いて、零点の重複度の上限を改善し、次数積制約を除去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなプロジェクト型多様体の多重汎関数が、超越的技法を用いて全純変形に関して不変であることを示せるか？
• RQ2 曲率と$L^2$ $$\bar{\partial}$$-推定を用いて、$$\mathbb{P}^2$$ 内の滑らかなLevi-フラット超曲面の非存在を証明することは可能か？
• RQ3 $$\mathbb{P}^n$$ 内の高次元の一般超曲面が、非定値な正則写像$$\mathbb{C}$$ から持ち込まない、つまり双曲的であるための条件は何か？
• RQ4 整関数曲線が必ずある部分多様体に含まれるように保証するため、十分に制御された重複度を持つジェット微分形式をどのように構築できるか？
• RQ5 埋め込みおよび変形技法を用いて、双曲性証明における次数の積制約を除去することは可能か？

主な発見

• コンパクトなプロジェクト型代数的多様体の多重汎関数は、全純変形に関して不変であり、プロジェクト型ファミリーにおける予想2.1を確認した。
• 複素射影平面$$\mathbb{P}^2$$ 内には滑らかなLevi-フラット超曲面が存在しない。これは長年の未解決問題を解決する。
• $$\mathbb{P}^n$$ 内の十分に高い次数の一般超曲面は双曲的である。これは、非定値な正則写像$$\mathbb{C}$$ から持ち込まないことを意味する。
• 構築されたジェット微分形式の係数の零点の重複度は、ある$$\eta>0$$ に対して$$\delta^{1-\eta}$$ で有界である。これは双曲性の証明に十分である。
• 積埋め込み$$\mathbb{P}^n \to \mathbb{P}_{\hat{n}_1} \times \mathbb{P}_{\hat{n}_2}$$ を用いることで、双曲性証明における次数積制約が除去され、すべての十分に高い次数に対して結果が得られるようになった。
• 低極位数のベクトル場のリー微分を用いてジェットバンドル上でジェット微分形式を構築する方法により、定義方程式からの微分を十分に独立に保つことができる。