[論文レビュー] Some Reflections on the Status of Conventional Quantum Theory when Applied to Quantum Gravity

C. J. Isham|ArXiv.org|Jun 13, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 19被引用数 28

ひとこと要約

この論文は、量子重力において時空自体が離散的または非古典的である可能性があることから、従来の量子理論が連続的構造（実数・複素数、点集合位相）に依存していることの根本的不適合性を主張している。代わりにトポス理論、特に準層論的論理とシーブ値の割り当てを用いることで、文脈依存的で多値の真理値を物理的命題に割り当てられる枠組みを提供し、Kochen-Speckerの定理を一般化し、前提的な連続体を必要としない量子理論の構築を可能にする。

ABSTRACT

All current approaches to quantum gravity employ essentially standard quantum theory including, in particular, continuum quantities such as the real or complex numbers. However, I wish to argue that this may be fundamentally wrong in so far as the use of these continuum quantities in standard quantum theory can be traced back to certain {\em a priori} assumptions about the nature of space and time: assumptions that may be incompatible with the view of space and time adopted by a quantum gravity theory. My conjecture is that in, some yet to be determined sense, to each type of space-time there is associated a corresponding type of quantum theory in which continuum quantities do not necessarily appear, being replaced with structures that are appropriate to the specific space-time. Topos theory then arises as a possible tool for `gluing' together these different theories associated with the different space-times. As a concrete example of the use of topos ideas, I summarise recent work applying presheaf theory to the Kochen-Specher theorem and the assignment of values to physical quantities in a quantum theory.

研究の動機と目的

• 標準的量子理論における実数・複素数、点集合位相の使用が、量子重力において普遍的に有効であるという仮定に疑問を呈すること。
• 量子重力における時空構造が、連続的でない数学的基盤を有する別の種類の量子理論を必要とすることを調査すること。
• トポス理論を、異なる時空背景に対応する独立した量子理論を統合できる統一的数学的枠組みとして探ること。
• 準層論が、量子力学における物理的量の評価を一般化し、関数的整合性（FUNC）を保ちつつ古典的真理値を避ける方法を示すこと。

提案手法

• 可換部分代数の順序集合上の準層の圏を用いたトポス理論を用い、物理的量に関する命題の一般化された真理値を定義すること。
• 各観測可能Âとボレル集合Δに対して、状態ψがスペクトル射影子の像に属するような射f:Â→B̂の集合を割り当てるシーブ値の評価ν^ψ(A∈Δ)を構成すること。
• 評価を、f ∈ ν^ψ(A∈Δ) ならば Prob(B∈f(Δ);ψ) = 1 という条件で定義し、ボーン則と関連付けること。
• この評価が関数的計算条件（FUNC）を満たすことを示し、量子論理と整合性を保つこと。
• 古典的真理値をシーブ値の文脈依存的割り当てに置き換えることで、Kochen-Speckerの定理を一般化すること。
• トポス理論が、時空が基本的でない領域において特に顕著な、異なる時空タイプに対応する量子理論を統合するための「接着」メカニズムを提供できることを提唱すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子重力において時空が連続的でない可能性がある中で、量子理論における連続的構造（実数など）の使用が根本的に不適合である可能性はあるか？
• RQ2 標準的点集合位相や連続体を前提としないが、代わりに基礎となる時空幾何学から数学的構造を導出する量子理論を構築する方法はあるか？
• RQ3 特に準層とシーブ値の評価を通じて、トポス理論が量子力学における物理的命題への真理値割り当てに一貫性があり文脈依存的な論理を提供できるか？
• RQ4 Kochen-Speckerの定理をトポス論的枠組みで再定式化することで、文脈性の問題を回避しつつ関数的整合性を保てるか？
• RQ5 トポス理論が、量子重力における異なる時空背景から生じる異なる量子理論を統合する統一的枠組みとして機能できるか？

主な発見

• 各量子状態ψと観測可能Âに対して、Âのスペクトルのボレル集合Δごとに、ψがスペクトル射影子E[B∈f(Δ)]の像に属するような射f:Â→B̂の集合を割り当てるシーブ値の評価ν^ψ(A∈Δ)が定義される。
• この評価は関数的計算条件（FUNC）を満たしており、文脈依存的な一般化形で標準的量子理論の予測と整合性を保つ。
• この評価は、ボーン則の確率Prob(B∈f(Δ);ψ) = 1 と等価であり、標準的量子力学と直接関連している。
• この枠組みは、Kochen-Speckerの定理における値割り当ての問題を解消するため、準層のトポスに内在する文脈的で多値の論理に置き換える。
• トポス理論は、時空が基本的でない領域において特に顕著な、異なる時空構造に対応する量子理論を統合する自然な数学的道具を提供する。
• 論文は、ヒルベルト空間、[0,1]における確率、連続的値をとる観測可能量といった、標準的量子理論の全形式が、量子重力においては本質的ではなく、むしろ発現的である可能性を示唆している。