[論文レビュー] Some relations between the spectra of simple and non-backtracking random walks

Nalini Anantharaman|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 13被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、非正則グラフ上での単純ランダムウォークと非バックトラッキングランダムウォークの混合率の間の定量的関係を確立し、特徴値多項式を非バックトラッキング移動作用素と解析的重みを用いた行列式として表現する、イハラ行列式の変種を導入する。結果として、既知の正則グラフに関する恒等式が非正則設定へ一般化され、より広いグラフクラスにおけるスペクトル解析が可能になる。

ABSTRACT

We establish some relations between the spectra of simple and non-backtracking random walks on non-regular graphs, generalizing some well-known facts for regular graphs. Our two main results are 1) a quantitative relation between the mixing rates of the simple random walk and of the non-backtracking random walk 2) a variant of the "Ihara determinant formula" which expresses the characteristic polynomial of the adjacency matrix, or of the laplacian, as the determinant of a certain non-backtracking random walk with holomorphic weights.

研究の動機と目的

• 正則グラフから非正則グラフへの単純ランダムウォークと非バックトラッキングランダムウォークの間の既知のスペクトル的関係を一般化すること。
• 非正則グラフ上での両タイプのランダムウォークの混合率の間の定量的関係を確立すること。
• 非バックトラッキング移動作用素に解析的重みを用いて、非正則グラフへのイハラ行列式の拡張を実現すること。
• 新しい行列式恒等式を用いて、隣接行列／ラプラシアンと非バックトラッキング作用素の間のスペクトル的ブリッジを提供すること。

提案手法

• 向き付けられた辺上で定義された非バックトラッキング移動作用素 $\mathcal{B}$ を用い、直ちにバックトラッキングを避ける遷移則を採用する。
• 隣接行列のリゾルベントに関連する解析的重み関数 $\zeta^z(x,y)$ を導入し、スペクトルのパrameter化を可能にする。
• リゾルベント $ (\mathcal{A} - zI)^{-1} $ を含む共役恒等式を適用し、$m(x)$ と $\zeta(x,y)$ を含む変換を介して非バックトラッキング作用素 $\mathcal{B}$ に結びつける。
• 向き付けられた辺上の関数空間を射影 $\mathcal{P}$ の像と核に分解し、作用素 $K$ のこれらの部分空間への作用を解析することで、行列式恒等式を導出する。
• 補正因子 $G(x,y)$ を含む $ \det(\zeta^{-1}I - \mathcal{B}) \propto \det(\mathcal{A} - zI) $ の恒等式を用い、イハラ公式を非正則グラフへ一般化する。
• スペクトル分解とリゾルベント技法を用いて、$\mathcal{S}$（非バックトラッキングウォーク）の固有値を、$\mathcal{A}$ の固有ベクトルでない $ (I - u\mathcal{A} + u^2 Q)v = 0 $ の解と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正則グラフ上での単純ランダムウォークと非バックトラッキングランダムウォークの混合率は、どのように比較できるか？
• RQ2 正則グラフに限って知られているイハラ行列式は、非正則グラフへ一般化可能か？
• RQ3 非正則設定における隣接行列と非バックトラッキング移動作用素の間の正確なスペクトル的関係は何か？
• RQ4 解析的重みを用いることで、非バックトラッキング作用素を介して隣接行列またはラプラシアンの特徴多項式をどのように表現できるか？

主な発見

• 非正則グラフ上での単純ランダムウォーク $P$ と非バックトラッキングランダムウォーク $\mathcal{S}$ の混合率の間の定量的関係が確立され、正則グラフに既知の結果が拡張された。
• イハラ行列式の変種が証明された：$ \det(I^{|B|} - u\mathcal{B}) = (1 - u^2)^{r-1} \det(I^{|V|} - u\mathcal{A} + u^2 Q) $、これは $Q(x) = D(x) - 1$ を満たす有限非正則グラフに対して有効である。
• 隣接行列 $\mathcal{A}$ の特徴多項式が、解析的係数を有する非バックトラッキング作用素の行列式と $ \det(\zeta^{-1}I - \mathcal{B}) \propto \det(\mathcal{A} - zI) $ を介して関連づけられ、$G(x,y)$ を含む補正因子が存在する。
• 非バックトラッキングウォーク $\mathcal{S}$ のスペクトルギャップが、非正則性と $\mathcal{S}$ の非自己随伴性を考慮した変換を通じて、単純ウォーク $P$ のスペクトルギャップと関連づけられる。
• $K = (2m_2)^{-1}(\iota\zeta - I)$ は非バックトラッキング作用素と隣接行列を関連付けるために用いられ、その行列式は明示的に $ \prod_{e=\{x,y\}} (-G(x,y)) $ として計算される。
• 本手法により、$\mathcal{S}$ の固有値が $\mathcal{A}$ の固有ベクトルでない $ (I - u\mathcal{A} + u^2 Q)v = 0 $ の解と関連づけられることを明らかにした。これは非自明なスペクトル的対応を示している。