[論文レビュー] Some remarks on absolutely summing multilinear operators

A. Thiago Lopes Bernardino, Daniel Pellegrino|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2011

Advanced Banach Space Theory参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、最近の多変数絶対的和分可能な作用素に関する研究における空白を解消し、Pietschの合成定理が多変数および多項式設定へ自然に拡張されることを示している。これは先行文献で見過ごされていた事実である。主な貢献は、ある因子空間がcotype 2をもつ場合、絶対的$(s;s,t,...,t)$-和分可能な作用素は$1 \leq p \leq s \leq 2$に対して絶対的$(p;p,t,...,t)$-和分可能であるという新しい包含関係の結果である。これは以前の結果を一般化し、Popaが提起した問題に対する部分的解決を提供する。

ABSTRACT

This short note has a twofold purpose: (i) to solve the question that motivates a recent paper of D. Popa on multilinear variants of Pietsch's composition theorem for absolutely summing operators. More precisely, we remark that there is a natural perfect extension of Pietsch's composition theorem to the multilinear and polynomial settings. This fact was overlooked in the aforementioned paper; (ii) to investigate extensions of some results of the aforementioned paper for particular situations, mainly by exploring cotype properties of the spaces involved.

研究の動機と目的

• D. Popaの最近の論文における多変数版Pietschの合成定理に関する主要な見落としを解消すること。
• Pietschの合成定理の自然な多変数一般化を確立し、$\Pi_q \circ \delta_p^n \subset \Pi_r^n$ が従来の知られていた条件よりも広い条件下で成り立つことを示すこと。
• バナッハ空間のcotype性質が絶対的和分可能な多変数作用素間の包含関係に与える影響を調査すること。
• $n \geq p/r$ の場合に限り、Popaの論文の問題1.4に対する部分的解決を、単純だが見過ごされていた観察 $\delta_p^n \subset \Pi_r^n$ に基づいて提供すること。

提案手法

• Blascoらによるcotypeと弱い和分可能列に関する最近の結果を活用し、多変数作用素の包含定理を導出する。
• 弱い$\ell_p$-和分可能性とcotypeの双対性を適用し、$X$ がcotype $s$ をもち、$1/p = 1/r + 1/q$ かつ $p < s^*$ であるとき、$\ell_p^w(X) = \ell_r \ell_q^w(X)$ が成り立つという事実を利用する。
• $q$-支配的作用素の特徴づけ $\delta_q^n = \Pi_{q/n; q}^n$ を用いて、異なる種類の多変数作用素のクラスを関連付ける。
• $r \leq p$ のとき $\delta_p^n \subset \Pi_r^n$ を適用し、問題1.4の部分的解決を導出する。これは $n \geq p/r$ の範囲で有効である。
• cotype 2空間に関する既知の結果（例えば、$\Pi_2^{\text{mult},n} = \Pi_r^{\text{mult},n}$ for $r \leq 2$）と合成定理を組み合わせ、包含鎖を強化する。
• $\ell_p^w(X)$ と $\ell_q^w(X^*)$ の双対性を用いて、絶対的和分可能な線形写像との合成における多変数作用素の振る舞いを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クラスの構造が示唆するように、絶対的和分可能な作用素に対するPietschの合成定理は、多変数および多項式設定へ自然に拡張可能か？
• RQ2 $1 \leq p \leq s \leq 2$ に対して、$\Pi_{(s;s,t,...,t)}^n \subset \Pi_{(p;p,t,...,t)}^n$ が成り立つための、定義域空間のcotypeに関する条件は何か？
• RQ3 $r > 2$ の場合に $\Pi_q \circ \delta_p^n \subset \Pi_r^n$ を確立できるか。もし可能なら、$n$ のどの値に対して成立するか？
• RQ4 問題1.4を解決する単純で見過ごされていた議論は存在するか。特に $n \geq p/r$ の場合に有効な議論は？
• RQ5 空間 $X_j$ のcotype性質は、多重和分可能作用素と絶対的和分可能作用素の関係にどのように影響を与えるか？

主な発見

• $X_1$ がcotype 2 をもち、$1 \leq p \leq s \leq 2$ ならば、任意の $X_1 \times \cdots \times X_n$ から $Z$ への絶対的$(s;s,t,...,t)$-和分可能な多変数作用素は、すべての $t \geq 1$ およびすべての $X_2, \dots, X_n, Z$ に対して絶対的$(p;p,t,...,t)$-和分可能である。
• 特に、同じ仮定のもとで、絶対的$(s;s,\dots,s)$-和分可能な多変数作用素は、すべての $p$ に対して絶対的$(p;p,\dots,p)$-和分可能である。
• $j \neq 1$ の任意の $j$ に対して $X_j$ がcotype 2 をもつ場合にも同様の結果が成り立ち、Junek, Botelho, および Popaの結果を一般化する。
• $X_1$ がcotype $s > 2$ をもち、$1 \leq p \leq q < s^*$ ならば、すべての $t \geq 1$ に対して $\Pi_{(q;q,t,...,t)}^n \subset \Pi_{(p;p,t,...,t)}^n$ が成り立つ。これはcotype 2より高い空間への包含関係の拡張である。
• $r \leq p$ のとき $\delta_p^n \subset \Pi_r^n$ が成り立つという単純な議論により、$\Pi_q \circ \delta_p^n \subset \Pi_r^n$ がすべての $n \geq p/r$ に対して成り立つ。これは問題1.4に対する部分的解決を提供する。
• $j$ に対して $X_j$ がcotype 2 をもち、$Y$ がcotype 2 をもつならば、すべての $q \in [1,\infty)$ および $r \in [1,2]$ に対して $\Pi_q(Y;Z) \circ \bigcup_{p \geq 1} \delta_p^n(X_1,\dots,X_n;Y) \subset \Pi_r^n(X_1,\dots,X_n;Z)$ が成り立つ。これは既知の包含鎖を強化する。